Va bè dai...angus89 ha scritto:Siano a,b numeri reali non negativi tali che $ \displaystyle b^{2}+b^{6} \le a^{2}-a^{6} $
Dimostrare che risulta
1)$ \displaystyle a \le 1 $ ;
2) $ \displaystyle b< \frac{2}{3} $;
Posto comunque la soluzione "alternativa" e veloce
va bè il punto 1 credo sia chiaro a tutti...il problema è il punto 2
allora...
ripeto la traccia
$ \displaystyle b^{2}+b^{6} \le a^{2}-a^{6} $
Consideriamo $ \displaystyle a^{2}-a^{6} $, e consideriamola come una funzione, $ \displaystyle f(a)=a^{2}-a^{6} $
A questo punto vogliamo trovare il massimo valore che tale funzione può assumere, pertanto troviamo la derivata prima della funzione
$ \displaystyle f'(a)=2a-6a^{5} $, da qui troviamo che la funzione assume valore massimo per $ \displaystyle a=3^{-\frac{1}{4}} $.
Troviamo questo valore massimo $ \displaystyle f(3^{-\frac{1}{4}})=\frac{2}{3 \sqrt{3}} $
A questo punto abbiamo ridotto il tutto a dimostrare per $ \displaystyle b \ge \frac{2}{3} $ non vale
$ \displaystyle b^{2}+b^{6} \le \frac{2}{3 \sqrt{3}} $
Va bè...per formalizzare bisognerebbe dimostrare che la funzione$ \displaystyle g(b)=b^{2}+b^{6} $ è crescente, il che è una sciocchezza dato che si vede ad occhio e non lo scrivo neanche dato che è elementare...
Va bè detto questo si fà la sostituzione e si vede che per $ \displaystyle b= \frac{2}{3} $ la disugualianza non vale, dato che $ \displaystyle g(b) $ è crescente sicuramente non vale neanche per valori maggiori di $ \displaystyle \displaystyle \frac{2}{3} $...
Quindi se quella disuguaglianza vale, di certo $ \displaystyle b < \frac{2}{3} $