Dhai questa è bella!
In un paese ci sono 4 osterie, chiamate A, B, C, D e collegate fra di loro nel modo mostrato nella figura sotto.
Un ubriacone inizia a fare il giro delle osterie partendo dall'osteria A e passa, dopo aver bevuto, a una quasiasi delle osterie raggiungibili direttamente, con la stessa probabilità.
a) Qual è la probabilità che l'ubriacone si trovi all'osteria C alla quinta bevuta?
b) Dove è più probabile che l'ubriacone si trovi dopo n bevute? (n>5)
c)* Qual è la probabilità che l'ubriacone si trovi nell'osteria A alla 50-esima bevuta?
Cesenatico 95 - 3
Cesenatico 95 - 3
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- Disegnata mooooooooolto male...
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Appassionatamente BTA 197!
Proviamo a rispondere alla b e alla c...:
Le probabilità con un n abbastanza grande di trovarsi alle varie osterie dovrebbero essere rispettivamente A 2/10, B 3/10, C 3/10 e D 2/10.
Per cui è più probabile che l'ubriacone dopo n bevute si ubriachi alle osterie B o C, e la probabilità che alla 50° bevuta si trovi nell'osteria A è di 2/10.
Le probabilità con un n abbastanza grande di trovarsi alle varie osterie dovrebbero essere rispettivamente A 2/10, B 3/10, C 3/10 e D 2/10.
Per cui è più probabile che l'ubriacone dopo n bevute si ubriachi alle osterie B o C, e la probabilità che alla 50° bevuta si trovi nell'osteria A è di 2/10.
"Fu chiaro sin dall'inizio che ogni qual volta c'era un lavoro da fare, il gatto si rendeva irreperibile." (George Orwell - La fattoria degli animali)
Sia $ A_n $ la probabilità che l'ubriacone si trovi in A all'n-esima bevuta, e similmente $ B_n $ $ C_n $ $ D_n $.
Avremo dopo qualche constatazione che per $ n>1 $(alla 1° l'ubriacone è in A):
$ \displaystyle A_n=\frac{1}{3}(B_{n-1}+C_{n-1}) $
$ \displaystyle B_n=\frac{1}{3}C_{n-1}+\frac{1}{2}(A_{n-1}+D_{n-1}) $
$ \displaystyle C_n=\frac{1}{3}B_{n-1}+\frac{1}{2}(A_{n-1}+D_{n-1}) $
$ \displaystyle D_n=\frac{1}{3}(B_{n-1}+C_{n-1}) $
Da questo è lampante che
$ A_n=D_n $.
Inoltre poichè $ B_1=C_1 $ vien fuori che anche $ B_n=C_n $.
Allora avremo che
$ \displaystyle A_n=\frac{2}{3}B_{n-1} $
$ \displaystyle B_n=\frac{1}{3}B_{n-1}+A_{n-1} $
$ \displaystyle B_n=\frac{1}{3}B_{n-1}+\frac{2}{3}B_{n-2} $
Vogliamo sapere della 5° bevuta? Facciamo i casi piccoli di $ B_n $ e otteniamo $ B_5=C_5=\frac{13}{54} $.
Per la 2 si vede che per $ n>5 $ si ha $ B_n>A_n $ mentre per la 3 si vede che per n abbastanza grande le probabilità tendono appunto a
$ A_n=0,2;B_n=0,3 $
Avremo dopo qualche constatazione che per $ n>1 $(alla 1° l'ubriacone è in A):
$ \displaystyle A_n=\frac{1}{3}(B_{n-1}+C_{n-1}) $
$ \displaystyle B_n=\frac{1}{3}C_{n-1}+\frac{1}{2}(A_{n-1}+D_{n-1}) $
$ \displaystyle C_n=\frac{1}{3}B_{n-1}+\frac{1}{2}(A_{n-1}+D_{n-1}) $
$ \displaystyle D_n=\frac{1}{3}(B_{n-1}+C_{n-1}) $
Da questo è lampante che
$ A_n=D_n $.
Inoltre poichè $ B_1=C_1 $ vien fuori che anche $ B_n=C_n $.
Allora avremo che
$ \displaystyle A_n=\frac{2}{3}B_{n-1} $
$ \displaystyle B_n=\frac{1}{3}B_{n-1}+A_{n-1} $
$ \displaystyle B_n=\frac{1}{3}B_{n-1}+\frac{2}{3}B_{n-2} $
Vogliamo sapere della 5° bevuta? Facciamo i casi piccoli di $ B_n $ e otteniamo $ B_5=C_5=\frac{13}{54} $.
Per la 2 si vede che per $ n>5 $ si ha $ B_n>A_n $ mentre per la 3 si vede che per n abbastanza grande le probabilità tendono appunto a
$ A_n=0,2;B_n=0,3 $