Congettura per stabilire se un numero non è primo

[ev373]

NUMERO DI CIFRE DEL PERIODO
Visto che nessun matematico ha risposto alla domanda posta da Explorer il 09-04-08 : Di a/b , quali sono i numeri b che riescono a fornire il limite massimo del periodo e cioè b-1 ? , propongo la risposta che ho trovato io. Non sono un matematico, ma solo un numerico, e quindi per il caso particolare b = numero primo , non do una dimostrazione, ma espongo i risultati trovati. Anzitutto il valore di a è ininfluente, è ovviamente primo rispetto a b e lo si può supporre = 1.
Consideriamo i numeri aventi tutte le cifre = 1: Repunits Rn dove n è il numero delle cifre 1.
Scomponiamo in fattori primi questi numeri, e facciamo il reciproco dei loro fattori primi: ( le cifre decimali sono le cifre del periodo , non sono riuscito a fare la loro sopralineatura )
R2 = 11 1 / 11 = 0,09
R3 = 111 = 3 • 37 1 / 37 = 0,027
R4 = 1111 = 11 • 101 1 / 101 = 0,0099
R5 = 11111 = 41 • 271 1 / 41 = 0,02439 1 / 271 = 0,00369
R6 = 111111 = 7 • 11 • 13 • 37 1 / 7 = 0,142857
1 / 13 = 0,076923
R7 = 1111111 = 239 • 4649 1 / 239 = 0,0041841
1 / 4649 = 0,0002151
R8 = ….

Con questi e molti altri risultati ottenuti, penso di poter affermare che:
Facendo il reciproco di un numero primo P ( ≠ 2 , 3 , 5 ), si ottiene un numero decimale periodico, il cui periodo ha un numero di cifre dato dal numero di cifre 1 , del più piccolo Rn di cui P è divisore.
Esempi:
19 è divisore di R18 , quindi 1 / 19 ha periodo di 18 cifre
541 è divisore di R540 , quindi 1 / 541 ha periodo 540 cifre
2003 è divisore di R1001 , quindi 1 / 2003 ha periodo di 1001 cifre
5.363.222.357 è divisore di R17, quindi il suo reciproco ha periodo di 17 cifre

[FrancescoVeneziano]

Determinare quali primi hanno il periodo lungo p-1 è sostanzialmente un problema aperto; credo non si sappia nemmeno se sono infiniti.
C'è una congettura di Artin a riguardo, sulla quale è stato fatto qualche progresso.
Quanto alla tua osservazione, è certamente vera: basta osservare che $ R_n=\frac{10^n-1}{9} $ e quindi se p è un primo diverso da 3, $ 10^n\equiv 1 \pmod p \Leftrightarrow p|R_n $ e questo e vero anche per numeri che non sono primi, purché non siano divisibili per 3.