Quali sono i polinomi per cui p(x)=8p(2x)??

[antosecret]

In un esercizio mi sono trovato a voler sapere quali sono tutti i polinomi per cui vale
$ p(x) = 8p(2x) $
Intuitivamente la cosa vale solo per il polinomio nullo p(x) = 0, ma nn riesco a formalizzarlo.
Qualcuno mi aiuta???

Ps: ho postato qua perchè mi sembrava troppo semplice per andare in Algebra... spero sia la sezione più giusta, in caso potreste spostarlo???

[pic88]

se ha una radice diversa dallo zero, allora ne ha infinite e dunque è nullo, altrimenti è della forma x^n

[antosecret]

se ha una radice diversa dallo zero, allora ne ha infinite e dunque è nullo, altrimenti è della forma x^n

Mi dispiace ma nn ti seguo... potresti spiegarmelo in modo più semplice per favore???

[EvaristeG]

Va in algebra... in fondo è un esercizio.

[darkcrystal]

Sia $ \alpha $ una radice non nulla del polinomio. Allora $ p(2 \alpha)=\frac{p(\alpha)}{8}=0 $, cioè anche $ 2 \alpha $ è una radice non nulla (e anche distinta da quella di prima). Ma allora $ 4\alpha, 8\alpha, ... 2^k \alpha $ sono radici per ogni k, perciò questo polinomio ha un po' troppe radici (ne ha - se vuoi - infinite) e quindi è il polinomio costantemente nullo.
Qual è il caso che abbiamo escluso? $ \alpha=0 $ (per OGNI radice del polinomio: se ne ha anche solo una non nulla, allora ne ha infinite).
Ma se tutte le sue radici sono 0, allora $ p(x)=b x^n $...

Spero sia più chiaro.

Ciao!

[antosecret]

E allora... visti i suggerimenti e gli aiuti di tutti, credo di aver capito e provo a postare una mia dimostrazione.

Dunque, se a x sostituisco una radice a del polinomio ottengo:

$ p(a)=8p(2a) $
$ 0 = 8p(2a) $
$ p(2a)=0 $

Allora anche 2a è una radice del polinomio. Se a x sostituisco 2a ottengo un altra radice del polinomio. Questo procedimento potrebbe andare avanti all'infinito, e siccome non esiste un polinomio con infinite radici devo concludere che questo polinomio non ha alcuna radice.

In questo modo però non considero che se a =0 allora $ a = 2a = 4a =..... $ In questo caso si ha che il polinomio deve essere per forza del tipo $ p(x)= bx^n $.
Allora avremo:
$ bx^n = 8b(2x)^n $
$ bx^n = 8*2^n*bx^n $
$ 8*2^n=1 $ con bx^n diverso da 0

Quindi o bx^n = 0 e cioè il polinomio è nullo oppure n = -3

Ma se n = -3 l'espressione non è più un polinomio (giusto???)
Quindi l'unico polinomio che soddisfa le condizioni è $ p(x)=0 $