Si narra che in una vecchia selezione di Cesenatico, composta da 100 ragazzi, ogni ragazzo per la gara avesse un preciso posto a sedere. Ci fu però un piccolo intoppo. Il primo ragazzo che entra nell'aula adibita alla gara, causa una notte di baldoria, si dimentica il proprio posto e quindi si siede in un posto a caso. Tutti gli altri ragazzi che entrano nell'aula si mettono a sedere nel proprio posto se lo trovano libero, altrimenti anche loro si siedono a caso.
Qual è la probabilità che l'ultimo ragazzo che entra nell'aula (il 100-simo) trovi il proprio posto libero?
Supporre che entri un ragazzo per volta.
Una vecchia gara di Cesenatico
Tale probabilità è $ \displaystyle \frac{1}{2} $.
Prima di tutto, numeriamo i posti.
Ora supponiamo che il 1° studente prenda il posto del k-esimo.
Sia $ P_k $ la probabilità che il centesimo si sieda al suo posto quando il 1° ha preso il posto del k-esimo. Abbiamo $ P_{100}=0 $ e $ P_1=1 $. Più in genere se il 1° studente prende il posto del k-esimo tutti gli studenti che entreranno prima del k-esimo si siederanno al proprio posto. Ora il k-esimo si siederà a caso, scegliendo tra il posto 1 o uno dei posti tra k e 100. Se sceglie il posto 1 allora tutti gli studenti che entreranno dopo si siederanno al proprio posto, compreso il centesimo. Se sceglie un posto compreso tra k e 100, mettiamo l'h-esimo, allora tutti gli studenti tra il k-esimo e l'h-esimo si siederanno al proprio posto, dopodichè si ripete la stessa situazione con l'h-esimo studente. In pratica avremo:
$ P_{k}=\displaystyle \frac{1}{101-k}(1+ \sum_{i=k+1}^{100} P_i) $.
Ovviamente la probabilità P totale altro non è che la media di tutte queste sotto-probabilità.
Abbiamo dalla formula che $ \displaystyle P_{99}=\frac{1}{2} $.
Dalla stessa formula abbiamo che se per ogni $ i $ compreso tra un certo $ k $ e 100, $ P_i=\frac{1}{2} $ allora $ P_k=\frac{1}{2} $. Quindi $ P_2=P_3=...=P_{99}=\frac{1}{2} $. Calcoliamo la probabilità generale e vedremo che sarà $ \frac{1}{2} $
Prima di tutto, numeriamo i posti.
Ora supponiamo che il 1° studente prenda il posto del k-esimo.
Sia $ P_k $ la probabilità che il centesimo si sieda al suo posto quando il 1° ha preso il posto del k-esimo. Abbiamo $ P_{100}=0 $ e $ P_1=1 $. Più in genere se il 1° studente prende il posto del k-esimo tutti gli studenti che entreranno prima del k-esimo si siederanno al proprio posto. Ora il k-esimo si siederà a caso, scegliendo tra il posto 1 o uno dei posti tra k e 100. Se sceglie il posto 1 allora tutti gli studenti che entreranno dopo si siederanno al proprio posto, compreso il centesimo. Se sceglie un posto compreso tra k e 100, mettiamo l'h-esimo, allora tutti gli studenti tra il k-esimo e l'h-esimo si siederanno al proprio posto, dopodichè si ripete la stessa situazione con l'h-esimo studente. In pratica avremo:
$ P_{k}=\displaystyle \frac{1}{101-k}(1+ \sum_{i=k+1}^{100} P_i) $.
Ovviamente la probabilità P totale altro non è che la media di tutte queste sotto-probabilità.
Abbiamo dalla formula che $ \displaystyle P_{99}=\frac{1}{2} $.
Dalla stessa formula abbiamo che se per ogni $ i $ compreso tra un certo $ k $ e 100, $ P_i=\frac{1}{2} $ allora $ P_k=\frac{1}{2} $. Quindi $ P_2=P_3=...=P_{99}=\frac{1}{2} $. Calcoliamo la probabilità generale e vedremo che sarà $ \frac{1}{2} $
Allora propongo una soluzione alternativa che ha avuto una dritta da Alex 89: Quali sono i posti che i fanciulli 99 e 100 possono avere a disposizione? dimostriamo che essi sono tutte e sole le coppie dell'insieme di posti (1,99,100): Poniamo per assurdo che 99 o 100 abbiano a disposizione un posto diverso da questi tre: il k-esimo per k compreso tra 2 e 98.Ma se 99 ha a disposizione questo posto allora ce l'aveva anche il fanciullo k.quindi si avrebbe una contraddizione con l'ipotesi che se k ha a disposizione il suo posto allora si siede lì.Detto questo abbiamo tre configurazioni possibili:(1,99)(1,100)(99,100).dimostriamo che sono equiprobabili: in tutti e 3 i casi abbiamo che 1 ha a scelta 98 posti e dunque non ci interessa quali siano i posti,ma solo il fatto che siano 98...perchè gli eventi possibili in tal caso dipenderanno dal numero di posti. Detto questo la probabilità che 100 vada al suo posto è $ (0+1+1/2)/3=1/2 $
ps:quando ho visto quella di alex molto più fine in quanto a formalizzazione mi sono persuaso che la mia desse per scontato(cosa che io avevo fatto all'inizio)l'equiprobabilità dei tre casi,e mi ero fissato che per dimostrarlo bisognasse ripassare per la sua soluzione....invece lui m' ha fatto notare che tale equiprobabilità è davvero una cosa ovvia...scusate la parentesi psicomatematica OT...ma stè cose fanno rabbia
ps:quando ho visto quella di alex molto più fine in quanto a formalizzazione mi sono persuaso che la mia desse per scontato(cosa che io avevo fatto all'inizio)l'equiprobabilità dei tre casi,e mi ero fissato che per dimostrarlo bisognasse ripassare per la sua soluzione....invece lui m' ha fatto notare che tale equiprobabilità è davvero una cosa ovvia...scusate la parentesi psicomatematica OT...ma stè cose fanno rabbia
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"