Determinare per quali valori naturali di n il numero $ $n^{2006} +n+1 $ è primo.
Parma 2007
n^{2006} +n+1=p
n^{2006} +n+1=p
Appassionatamente BTA 197!
Osservazione 1: Se è Parma 2007, il 2006 cosa ci incastra?! Ci dovrà pur esser un 2007!!
Vediamo di riscrivere $ A=n^{2006}+n+1 $ in un modo che ci torni più utile.
Si nota subito che per $ n=1 $ abbiamo $ p=3 $.
Supponiamo allora, dato che questa soluzione l'abbiamo già trovata, $ n>1 $.
Allora è lecito scrivere $ A=\displaystyle \frac{(n^{2006}+n+1)(n-1)}{n-1} $.
Ci da un pò fastidio il denominatore, ma vedremo come fare..
$ \displaystyle A=\frac{n^{2007}-n^{2006}+n^2-1}{n-1} $ (È apparso il 2007 evvai!
)
$ 2007=3\cdot 669, 2004= 3\cdot 668 $
$ \displaystyle A=\frac{(n^{2007}-1)-n^2(n^{2004}-1)}{n-1} $
Per facilitare un attimo i conti sostituiamo $ n^3=z $. Allora:
$ \displaystyle A=\frac{(z^{669}-1)-n^2(z^{668}-1)}{n-1} $
$ \displaystyle A=\frac{(z-1)(z^{668}+z^{667}+\dots +1)-n^2(z-1)(z^{667}+z^{666}+\dots +1)}{n-1} $
$ \displaystyle A=(n^2+n+1)(n^{2004}+n^{2001}+\dots +n^3+1) $$ -(n^2+n+1)(n^{2003}+n^{2000}+\dots +n^2) $
$ A=(n^2+n+1)(n^{2004}-n^{2003}+n^{2001}-n^{2000}+\dots +n^3-n^2+1) $
A questo punto è chiaro che $ n^2+n+1>1 $ se $ n\not =0 $ come anche l'altro mostro-fattore che possiamo riscrivere come $ (n-1)(n^{2003}+n^{2000}+\dots +n^2)+1 $.
Si verifica che per $ n=0 $ non si ottiene un primo (1), e l'unica soluzione è data quindi da $ n=1 $.
Spero di non aver scritto troppe bestialità
Vediamo di riscrivere $ A=n^{2006}+n+1 $ in un modo che ci torni più utile.
Si nota subito che per $ n=1 $ abbiamo $ p=3 $.
Supponiamo allora, dato che questa soluzione l'abbiamo già trovata, $ n>1 $.
Allora è lecito scrivere $ A=\displaystyle \frac{(n^{2006}+n+1)(n-1)}{n-1} $.
Ci da un pò fastidio il denominatore, ma vedremo come fare..
$ \displaystyle A=\frac{n^{2007}-n^{2006}+n^2-1}{n-1} $ (È apparso il 2007 evvai!
)$ 2007=3\cdot 669, 2004= 3\cdot 668 $
$ \displaystyle A=\frac{(n^{2007}-1)-n^2(n^{2004}-1)}{n-1} $
Per facilitare un attimo i conti sostituiamo $ n^3=z $. Allora:
$ \displaystyle A=\frac{(z^{669}-1)-n^2(z^{668}-1)}{n-1} $
$ \displaystyle A=\frac{(z-1)(z^{668}+z^{667}+\dots +1)-n^2(z-1)(z^{667}+z^{666}+\dots +1)}{n-1} $
$ \displaystyle A=(n^2+n+1)(n^{2004}+n^{2001}+\dots +n^3+1) $$ -(n^2+n+1)(n^{2003}+n^{2000}+\dots +n^2) $
$ A=(n^2+n+1)(n^{2004}-n^{2003}+n^{2001}-n^{2000}+\dots +n^3-n^2+1) $
A questo punto è chiaro che $ n^2+n+1>1 $ se $ n\not =0 $ come anche l'altro mostro-fattore che possiamo riscrivere come $ (n-1)(n^{2003}+n^{2000}+\dots +n^2)+1 $.
Si verifica che per $ n=0 $ non si ottiene un primo (1), e l'unica soluzione è data quindi da $ n=1 $.
Spero di non aver scritto troppe bestialità
-
darkcrystal
- Messaggi: 706
- Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
- Località: Chiavari
Uh come siete complicati 
Siano $ x_1, x_2 $ le soluzioni non reali di $ x^3=1 $.
Notiamo subito che allora $ x_1, x_2 $ sono le radici di $ \displaystyle x^2+x+1 $.
Vediamo anche una simpatica cosa: $ x_1^{2006} + x_1 + 1= x_1^{2004}x_1^2 +x_1+1 $$ \displaystyle = \left(x_1^3 \right)^{668}x_1^2+x_1=1 \cdot x_1^2+x_1+1=0 $ e similmente per $ x_2 $. Ma allora $ n^2+n+1=(n-x_1)(n-x_2) | n^{2006}+n+1 $, da cui si conclude come ha mostrato EUCLA
Tutto ciò per dire una cosa (trucchetto segnalatomi da edriv): se guardate gli esponenti del polinomio modulo 3 scoprite che sono (2,1,0) proprio come quelli di $ x^2+x+1 $, il che può far nascere dei sospetti!
Ciau!
Siano $ x_1, x_2 $ le soluzioni non reali di $ x^3=1 $.
Notiamo subito che allora $ x_1, x_2 $ sono le radici di $ \displaystyle x^2+x+1 $.
Vediamo anche una simpatica cosa: $ x_1^{2006} + x_1 + 1= x_1^{2004}x_1^2 +x_1+1 $$ \displaystyle = \left(x_1^3 \right)^{668}x_1^2+x_1=1 \cdot x_1^2+x_1+1=0 $ e similmente per $ x_2 $. Ma allora $ n^2+n+1=(n-x_1)(n-x_2) | n^{2006}+n+1 $, da cui si conclude come ha mostrato EUCLA
Tutto ciò per dire una cosa (trucchetto segnalatomi da edriv): se guardate gli esponenti del polinomio modulo 3 scoprite che sono (2,1,0) proprio come quelli di $ x^2+x+1 $, il che può far nascere dei sospetti!
Ciau!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
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