lancio di 6 dadi (da yahoo answer)

[jordan]

un amico ci dice 3 numeri (non necessariamente distinti) nell'insieme D={1,2,3,4,5,6}.
qual è la probabilità che lanciando 6 dadi i 3 numeri escano almeno una volta?

(e.g. l'amico ci dice (1,1,2), se esce la sestina (2,3,4,1,6,6) la consideriamo accettabile in quanto compaiono sia l'1 che il 2)

[uchiak]

Conviene prendere l'evento complementare e poi fare 1-
I tre numeri dell'amico possono essere uguali, due uguali, distinti, allora la prob che non è escano è $ (\frac{5}{6})^6\frac{6}{\binom{8}{3}}+(\frac{2}{3})^6\frac{2\binom{6}{2}}{\binom{8}{3}}+(\frac{1}{2})^6\frac{\binom{6}{3}}{\binom{8}{3}} $.

[jordan]

ehiehi piano .. capisco che ti stai calcolando l'evento atteso, ma prima di tutto dovresti dirlo, e poi spiegare quello che fai..
anche perchè non è cosi facile come dici tu..

[uchiak]

Hai ragione, ho fatto un gran casino!
Sì, ho usato la prob condizionata. Prendiamo l'evento complementare: non esca almeno un numero.
Allora, se i numeri dell'amico sono tutti uguali la probabilità che non escano è $ (\frac{5}{6})^6 $;
se due sono uguali, per esempio 1 1 2, sia A = non esce 1, B= non esce 2, allora la prob P(A vel B)= P(A)+P(B)-P(A et B)= $ 2(\frac{5}{6})^6-(\frac{2}{3})^6 $;
se sono tutti e tre distinti, P(A vel B vel C) = 3P(A)-3P(A et B)+P(A et B et C)= $ 3(\frac{5}{6})^6-3(\frac{2}{3})^6+(\frac{1}{2})^6 $.
La prob che i 3 numeri dell'amico siano uguali è $ \frac{6}{\binom{8}{3}} $, che due siano uguali è $ \frac{2\binom{6}{2}}{\binom{8}{3}} $, che tutti e tre siano distinti è $ \frac{\binom{6}{3}}{\binom{8}{3}} $.
Finalmente, per la legge delle alternative:
$ p=(\frac{5}{6})^6\frac{6}{\binom{8}{3}}+(2(\frac{5}{6})^6-(\frac{2}{3})^6)\frac{2\binom{6}{2}}{\binom{8}{3}}+(3(\frac{5}{6})^6-3(\frac{2}{3})^6+(\frac{1}{2})^6)\frac{\binom{6}{3}}{\binom{8}{3}} $.
Naturalmente la prob richiesta è 1-p.

[jordan]

si adesso va meglio

La prob che i 3 numeri dell'amico siano uguali è $ \frac{6}{\binom{8}{3}} $, che due siano uguali è $ \frac{2\binom{6}{2}}{\binom{8}{3}} $, che tutti e tre siano distinti è $ \frac{\binom{6}{3}}{\binom{8}{3}} $

mi spieghi da dove t'è uscito $ \binom{8}{3} $?

[uchiak]

I tre numeri che può scegliere l'amico sono combinazioni con ripetizione di classe 3 da un insieme di 6 oggetti che sono uguali alle combinazioni semplici di 8 su 3.

[uchiak]

Comunque, gran bel problemino!

[jordan]

uh grazie..
cmq un secondo, secondo te la probabilità che l'amico ci dia una terna con tutti numeri uguali è $ 6\binom{8}{3}^{-1} $ invece che $ 6^{-2} $?

ps vorrei capire perchè proprio 8 poi..

[uchiak]

I tre numeri che sceglie l'amico sono tanti quanti le combinazioni con ripetizione: $ C_{6,3}^r=\binom{8}{3} $ per una nota formula.
Le terne con tutti e tre i valori uguali sono: 1,1,1; 2,2,2;...;6,6,6, cioè sono 6.
Dovrebbe essere così.

[uchiak]

Forse ho capito... tu hai considerato l'ordine in cui l'amico dice i tre numeri, mentre io no. Io credo che sia più naturale non considerare l'ordine, però il testo lo dovrebbe specificare.

[jordan]

mmm, la "formula" a cui ti riferisci credo sia $ \binom{n+k-1}{k} $, che esprime il numero di modi per mettere $ k $ elementi in modo casuale tra $ n $ scatole. ok, ho capito cosa vuoi dire, credo a questo punto sia problema di interpretazione del testo.
te consideri equiprobabili due terne qualsiasi (siano esse di tutti numeri uguali o di tutti numeri diversi).
io consideravo le terna come sequenze di 3 numeri estratti per cui i casi possibili erano $ 6^3 $ e quelli favoreli rispettivamente $ 6, 2*3\binom{6}{2}, 3!\binom{6}{3} $(l'unica differenza è che conta l'ordine)

forse per come ho formulato il testo credo che sia piu accettabile la tua, be, ad ogni modo, bravo

{edit:post contemporaneo}:)