Su una scacchiera (8X8) mettiamo k torri.
Determinare la probabilità che non si minaccino (una torre minaccia le caselle della riga e della colonna che occupa).
Scacchi
Re: Scacchi
per ora ti posso dire che per k>8 si minacciano sicuramente...uchiak ha scritto:Su una scacchiera (8X8) mettiamo k torri.
Determinare la probabilità che non si minaccino (una torre minaccia le caselle della riga e della colonna che occupa).
domani da riposato provo a finirlo...
[/tex]Dovrei avere la soluzione:
Secondo i miei ragionamenti (che non riporto qui perchè piuttosto lunghi da esporre e difficili da spiegare) la probabilità che k torri non si minaccino è:
(8^2 - (8(k-1)+(9-k)(k-1)) / (8^2 - (k-1))
Corretto? (Scusate la scrittura con troppe parentesi)
Secondo i miei ragionamenti (che non riporto qui perchè piuttosto lunghi da esporre e difficili da spiegare) la probabilità che k torri non si minaccino è:
(8^2 - (8(k-1)+(9-k)(k-1)) / (8^2 - (k-1))
Corretto? (Scusate la scrittura con troppe parentesi)
Le variabili non cambiano mai, le costanti si.
Sia $ A_k $ l'evento che k torri non si minaccino.
Se k torri non si minacciano, anche k-1 tra di esse non si minacciano. Allora $ P(A_k)=P(A_{k-1})P(A_k|A_{k-1}) $. Si possono così calcolare ricorsivamente le probabilità $ P(A_k) $. $ P(A_{k+1}|A_k)=(8-k)^2/(64-k) $ e $ P(A_k)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2)...P(A_k|A_{k-1})= $$ \prod_{n=1}^{k-1}(8-n)^2/(64-n) $. Ovviamente $ P(A_1)=1 $ e $ 2 \le k \le8 $.
Se k torri non si minacciano, anche k-1 tra di esse non si minacciano. Allora $ P(A_k)=P(A_{k-1})P(A_k|A_{k-1}) $. Si possono così calcolare ricorsivamente le probabilità $ P(A_k) $. $ P(A_{k+1}|A_k)=(8-k)^2/(64-k) $ e $ P(A_k)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2)...P(A_k|A_{k-1})= $$ \prod_{n=1}^{k-1}(8-n)^2/(64-n) $. Ovviamente $ P(A_1)=1 $ e $ 2 \le k \le8 $.