Dualità e applicazioni bilineari

[killing_buddha]

Ecco il mio problema.



Grazie in anticipo a chiunque.
(Su matematicamente non mi rispondono )

[Russell]

La funzione $ \Phi_g $ manda un vettore $ v \in V $ in una mappa da $ W $ a $ \mathbb{K} $. Allo stesso modo la funzione $ \Psi_g $ manda un vettore $ w \in W $ in una mappa da $ V $ a $ \mathbb{K} $. Dalla definizione delle due funzioni si deduce

$ \Phi_g(v)(u)=g(v,u) \ \ \ \forall v \in V $ e $ \forall u \in W $

$ \Psi_g(w)(t)=g(t,w) \ \ \ \forall w \in W $ e $ \forall t \in V $

In particolare , scegliendo $ t=v $ e $ u=w $ si ha

$ \Phi_g(v)(w)=\Psi(w)(v) \ \ \ \ \forall v \in V \ \ \ \forall w \in W $

Sia $ H $ isomorfismo tra $ W^* $ e $ W $ (uno ce ne è di sicuro). Riesco ad intravedere l'isomorfismo tra $ V $ e $ V^* $ in $ \Psi_g \circ H \circ \Phi_g $

[killing_buddha]

A quanto ho capito io l'isomorfismo si deduce da un argomento di dimensioni (in effetti non l'ho detto, ma $ ~\dim V, \dim W < \infty $) e dalla non degenerazione di g:

Se $ ~g(v,w)=0 \quad\forall w \Rightarrow v=0\qquad \ker\Phi_g =\langle 0 \rangle $
Se $ ~g(v,w)=0 \quad\forall v \Rightarrow w=0\qquad \ker\Psi_g =\langle 0 \rangle $

A questo punto entrambe le trasformazioni sono inettive, e sappiamo che in dimensione finita $ ~\dim V = \dim V^* $. Isomorfismi...

Non riesco a capire $ ~\Psi\circ H \circ\Phi $.. almeno uno dei due va invertito altrimenti non ci siamo a livello di diagrammino commutativo....

Il mio probelma maggiore però era cercare di mostrare che $ ~\Psi^* =\Phi $.

[talpuz]

data $ f:A\rightarrow B $ lineare tra spazi vettoriali, la sua trasposta $ f^*:B^*\rightarrow A^* $ è definita tramite $ f^*(\phi)=\phi \circ f $, cioè a $ \phi \in B^* $ associa il funzionale $ f^*(\phi) $ definito da $ f^*(\phi)(a)=\phi(f(a)) $.

detto questo, hai $ \Phi_g:V\rightarrow W^* $, la sua trasposta sarà $ \Phi_g^*:W^{**}=W\rightarrow V^* $ che, ad ogni $ w \in W $ associa (ricordando l'isomorfismo canonico con il biduale) il funzionale "valutazione in $ w $ composto $ \Phi_g $". quest'ultimo è proprio il funzionale $ v \mapsto g(v,w) $, e quindi $ \Phi_g^* $ è proprio $ \Psi_g $.

spero fosse questo che chiedevi.. (e che sia chiaro quello che ho scritto.. )

[killing_buddha]

data $ f:A\rightarrow B $ lineare tra spazi vettoriali, la sua trasposta $ f^*:B^*\rightarrow A^* $ è definita tramite $ f^*(\phi)=\phi \circ f $, cioè a $ \phi \in B^* $ associa il funzionale $ f^*(\phi) $ definito da $ f^*(\phi)(a)=\phi(f(a)) $.

detto questo, hai $ \Phi_g:V\rightarrow W^* $, la sua trasposta sarà $ \Phi_g^*:W^{**}=W\rightarrow V^* $

fino a qui ci sono.

che, ad ogni $ w \in W $ associa (ricordando l'isomorfismo canonico con il biduale) il funzionale "valutazione in $ w $ composto $ \Phi_g $".

Qui già meno, non riesco a vederlo.

[talpuz]

l'isomorfismo di uno spazio (di dim finita) $ V $ con il suo biduale $ V^{**} $ è definito così: ogni $ v \in V $ corrisponde a $ \phi_v:V^*\rightarrow \mathbb{R} $ definito da $ \phi_v(f)=f(v) $ (questo intendo con "valutazione in v").

usando questa identificazione, si ottiene che $ \Phi_g^*(w)=\Phi_g^*(\phi_w)=\phi_w \circ \Phi_g $ per definizione di trasposta, e questo è un'elemento di $ V^* $.
quale elemento?
preso $ v \in V $, si ha $ (\phi_w \circ \Phi_g)(v)=\phi_w(\Phi_g(v))=\phi_w(g(v,\cdot))=g(v,w) $
da questo segue che $ \Phi_g^* $ manda $ w \in W $ (cioè $ \phi_w \in W^{**} $) nel funzionale $ v\mapsto g(v,w) $, che è esattamente quello che fa $ \Psi_g $..

in effetti è un po' contorta, ma se la segui con calma dovrebbe tornare

[killing_buddha]

Gia' molto piu' chiaro, ti ringrazio.
Ogni volta che si parla di duale, non si sa perche', le dimostrazioni si fanno piu' difficili da controllare.