diofantea facile facile

[bestiedda]

Determinare tutte le coppie ordinate (m,n) di interi positivi che soddisfano l'equazione

1/m + 1/n - 1/mn = 2/5

[mod_2]

Togliamo i denominatori
$ $5n+5m-5=2mn \Longrightarrow 5n+5m-2mn=5 $ $ $ \Longrightarrow 2mn-5n-5m=-5 $

Ora, l'idea è quella di aggiungere qualcosa in modo da poter scrivere il primo membro dell'equazione come una moltiplicazione fra i polinomi (in questo caso fra 2 binomi)

Moltiplichiamo tutto per 2:
$ $4mn-10n-10m=-10 \Longrightarrow (2m-5)(2n-5)-25=-10 $ $ $\Longrightarrow (2m-5)(2n-5)=15 $

Da questo punto in poi è solo casistica perché $ $(2m-5) $ e $ $(2n-5) $ devono essere divisori (positivi o negativi) di 15:
$ $\begin{cases} 2m-5=1 \\ 2n-5=15\\ \end{cases} \Longrightarrow m=3~~~n=10 $
$ $\begin{cases} 2m-5=-1 \\ 2n-5=-15\\ \end{cases} \Longrightarrow m=2~~~n=-5 $ non accettabile
$ $\begin{cases} 2m-5=3 \\ 2n-5=5\\ \end{cases} \Longrightarrow m=4~~~n=5 $
$ $\begin{cases} 2m-5=-3 \\ 2n-5=-5\\ \end{cases} \Longrightarrow m=1~~~n=0 $ non accettabile

Siccome $ $m $ e $ $n $ sono simmetrici allora le soluzioni sono
$ $(3,10)~~ (4,5)~~ (10,3)~~ (5,4) $

Se non mi sbaglio, deve essere un febbraio...

Ciau!

EDIT corretto l'errore stupido

[julio14]

Oppure si nota che uno dei due è divisible per 5, wlog m=5k
$ $10nk-5n=25k-5 $

$ $n=\frac{5k-1}{2k-1}=\frac{3k}{2k-1}+1 $

a questo punto k e il denominatore sono coprimi quindi il denominatore può essere uguale solo a 1 o 3 che danno soluzioni (3;5) e (4;10), più le simmetriche.

[Desh]

$ $\begin{cases} 2m-5=-1 \\ 2n-5=-15\\ \end{cases} \Longrightarrow m=3~~~n=-5 $ non accettabile

non cambia nulla, ma m=2

[mod_2]

Che sbadato... correggo subito!
Grazie!