medie armoniche

[jordan]

sia dato un triangolo con gli angoli proporzionali a 1,2 e 4.

1)mostrare che il doppio del lato piu piccolo è pari alla media armonica degli altri due.


2)(own)siano a,b,c le lunghezza dei tre lati del triangolo (wlog a>b>c>0).
mostrare che a è una radice del polinomio $ p(x)=x^3+bx^2-2b^2x-b^3 $


[ps.dimostrare il punto 1 senza tolomeo]

[elianto84]

1) Vogliamo provare $ \frac{1}{\sin(\pi/7)}=\frac{1}{\sin(2\pi/7)}+\frac{1}{\sin(4\pi/7)} $. Chiamando $ t = \cos(2\pi/7) $ ed utilizzando le formule di duplicazione e triplicazione del seno la tesi si trasforma in $ \frac{1}{4t^2-1}=1+\frac{1}{2t} $, ovvero $ 8t^3+4t^2-4t-1=0 $. Chiamando ora $ \zeta=e^{\frac{2\pi i}{7}} $ una radice primitiva settima dell'unità e usando il fatto che $ \cos(2\pi /7)=\frac{\zeta+\zeta^{-1}}{2} $, la tesi diventa $ 0 = (\zeta + \zeta^{-1})^3 + (\zeta + \zeta^{-1})^2 - 2(\zeta+\zeta^{-1})-1 $. Ma quanto scritto è equivalente a $ 0 = \zeta^3 + \zeta^{-3} + \zeta+\zeta^{-1}+\zeta^{2}+\zeta^{-2}+1 = \zeta^{-3}\sum_{j=0}^{6}\zeta^j $, che è banale in quanto $ \sum_{j=0}^{6}x^j $ è polinomio minimo per $ \zeta $.

[elianto84]

2) Dividendo per $ \sin^3(2\pi/7) $, utilizzando la formula di duplicazione del seno e le stesse convenzioni di prima la tesi diviene: $ 8t^3+4t^2-4t-1=0 $, che abbiamo già provato.