Un sacchetto contiene 48 palline di diversi colori: bianche, rosse e nere. la probabilità che, estraendo contemporaneamente due palline, esse siano entrambe bianche, è doppia rispetto alla probabilità che, estraendo contemporaneamente tre palline, esse siano tutte rosse. Quante sono le palline nere nel sacchetto?
Preso dall'esame di ammissione in Normale, anno1979-1980
Io l'ho risolto, mi ha preso mezz'ora ed ho come risposta 24 palline nere. Non posto il procedimento così ci pensate anche voi! Fatemi sapere se sono giunto al risultato giusto o se ho sbagliato tutto! Grazie e ciao a tutti!
L'ennesimo sacchetto con palline
Ci provo un attimo e posto il procedimento sennò qua spariamo numeri a caso. Se indichiamo con:
B il numero di palline bianche;
R il numero di palline rosse.
Siano$ P_{2b}, P_{3r} $, rispettivamente le probabilità di estrarre due palline bianche contemporaneamente e di estrarre tre palline rosse contemporaneamente.
$ P_{2b} $
Come posso estrarre 2 palline contando tutti i casi possibili? I casi, non le configurazioni. Sono $ \displaystyle 48\cdot 47 $.
Se voglio che siano bianche entrambe, quanti casi ho? La prima dev esser bianca, la seconda anche. Sono $ B(B-1) $.
Dunque $ \displaystyle P_{2b}=\frac{B(B-1)}{48\cdot 47} $.
$ P_{3r} $
Come posso estrarre 3 palline contando tutti i casi possibili? Analogamente sono $ \displaystyle 48\cdot 47\cdot 46 $.
Se voglio che siano tutte rosse, quanti casi ho? La prima deve esser rossa, così la seconda, e così la terza: $ R(R-1)(R-2) $.
Allora $ \displaystyle P_{3r}=\frac{R(R-1)(R-2)}{48\cdot 47\cdot 46} $.
Inoltre sappiamo che $ P_{2b}=2P_{3r} $.
Sostituendo abbiamo: $ \displaystyle \frac{B(B-1)}{48\cdot 47}=2\cdot \frac{R(R-1)(R-2)}{48\cdot 47\cdot 46} $.
$ 23B(B-1)=R(R-1)(R-2) $
Con qualche osservazione sulla divisibilità si arriva a $ R=23, B=22 $
Dunque il numero delle palline nere è $ N=48-(23+22)=48-45=3 $
Alessio, confermi che era questo il procedimento?
B il numero di palline bianche;
R il numero di palline rosse.
Siano$ P_{2b}, P_{3r} $, rispettivamente le probabilità di estrarre due palline bianche contemporaneamente e di estrarre tre palline rosse contemporaneamente.
$ P_{2b} $
Come posso estrarre 2 palline contando tutti i casi possibili? I casi, non le configurazioni. Sono $ \displaystyle 48\cdot 47 $.
Se voglio che siano bianche entrambe, quanti casi ho? La prima dev esser bianca, la seconda anche. Sono $ B(B-1) $.
Dunque $ \displaystyle P_{2b}=\frac{B(B-1)}{48\cdot 47} $.
$ P_{3r} $
Come posso estrarre 3 palline contando tutti i casi possibili? Analogamente sono $ \displaystyle 48\cdot 47\cdot 46 $.
Se voglio che siano tutte rosse, quanti casi ho? La prima deve esser rossa, così la seconda, e così la terza: $ R(R-1)(R-2) $.
Allora $ \displaystyle P_{3r}=\frac{R(R-1)(R-2)}{48\cdot 47\cdot 46} $.
Inoltre sappiamo che $ P_{2b}=2P_{3r} $.
Sostituendo abbiamo: $ \displaystyle \frac{B(B-1)}{48\cdot 47}=2\cdot \frac{R(R-1)(R-2)}{48\cdot 47\cdot 46} $.
$ 23B(B-1)=R(R-1)(R-2) $
Con qualche osservazione sulla divisibilità si arriva a $ R=23, B=22 $
Dunque il numero delle palline nere è $ N=48-(23+22)=48-45=3 $
Alessio, confermi che era questo il procedimento?
