ragazzi non riesco proprio a risolvere questo sistema..vi prego aiutatemi..
$ \begin{displaystyle}\left\{\begin{array}{cc}xe^y+ye^x=1\\
x^2+y^2=1\end {array}\right $
devo provare che le uniche soluzioni sono $ (0,1) $ e $ (1,0) $
grazie in anticipo..ciao ciao
sistema con equazioni esponenziali
Si verifica facilmente che (0,1) e (1,0) sono soluzioni. Nel proseguio le escludiamo per cercarne altre. Dalla seconda equazioni vedi che le due variabili x e y sono comprese tra -1 e 1, estremi esclusi.cntrone ha scritto:$ \begin{displaystyle}\left\{\begin{array}{cc}xe^y+ye^x=1\\ x^2+y^2=1\end {array}\right $
devo provare che le uniche soluzioni sono $ (0,1) $ e $ (1,0) $
Studia prima il caso in cui $ x=y $. Dalla seconda equazione avresti $ x=y=\pm\frac{1}{\sqrt 2} $, che inseriti nella prima equazione darebbero $ \pm \frac{2}{\sqrt 2} e^{\pm \frac{1}{\sqrt 2}}=1 $, che non è mai verificato. Quindi x e y devono essere diversi.
Consideriamo il caso che siano entrambi positivi (il caso in cui sono entrambi negativi si esclude banalmente guardando la prima equazione). Con $ 1 > x > 0 $ e $ 1 > y > 0 $, gli esponenziali $ e^x $ e $ e^y $ sono entrambi maggiori di 1, quindi $ xe^y+ye^x> x+y> x^2+y^2 $, proprio perché $ 1> x> 0 $ e $ 1> y> 0 $.
Quindi le possibili altre soluzioni devono essere tali che una variabile è negativa e l'altra positiva. Wlog, sia $ 0 > x > -1 $ e $ 1 > y > 0 $, allora avremmo dalla prima equazione $ -|x|e^y+\frac{y}{e^{|x|}} $. Ma sappiamo che $ e^{|x|}\geq 1 $ e quindi $ \frac{y}{e^{|x|}}< 1 $, che sommato a una quantità negativa non può dare un numero uguale a 1.
Ciao. [Forse era il caso di postarlo in Algebra?]