Sia p(x) un polinomio tale che:
- esiste un coefficiente positivo;
- esiste un coefficiente negativo;
- i coefficienti positivi hanno tutti grado minore di quelli negativi;
- la somma dei coefficienti è non negativa;
Dimostrare che esiste una ed una sola radice in $ [1, + \infty[ $.
P.S. Lo metto in MNE perché, per l'esistenza, si dovrebbe applicare un minimo di analisi 0; per l'unicità spero di no, anche se la sola soluzione che ho trovato io usa le derivate.
Un problema di "economia"
Allora per l'esistenza penso basti dire x=1 e notare dalle ipotesi che o 1 è radice quindi si ha l esistenza oppure se nn è radice essendo positivo e poichè quando la x và a $ +\infty $ il polinomio va(per una delle ipotesi) a $ -\infty $ allora data la continuità vale il teorema dei segni...cioè c'è una radice>1...dunque chiamiamo $ x $ la prima radice nell'intervallo 1 $ +\infty $ e considerando un generico reale $ a>1 $ vogliamo dimostrare che $ p(ax)<0 $ La mia idea è un pò brutale , però evita l'uso delle derivate(che da queste parti sono tanto malvolute 
) poichè sto in piena bufera maturanda non ho avuto tanto tempo per formalizzarla bene:scriviamo $ p(x)=a_1x^n+.........a_sx^k $ dove $ a_1 $ è l'ultimo coefficente negativo(ultimo può anche significare primo e ultimo date le ipotesi) e $ a_s $il primo positivo ora $ p(x)=0 $ e vogliamo vedere che $ p(ax)<0 $ ora $ p(ax)=a^na_1x^n+.......a^ka_sx^k $ ma possiamo riscriverlo come $ a^k(a_1x^n+...a_sx^k)+ (a^n-a^k)a_1x^n+..+(a^p-a^k)a_{(s-1)}x^p $ (scusate se devo dire "si può riscrivere come invece di=ma è colpa di latex nn mia) che diventa $ (a^n-a^k)a_1x^n+....(a^p-a^k)a_{(s-1)}x^p $ ma ora se vogliamo rifare una cosa analoga su questo polinomio dobbiamo fare comparire $ (a_sx^k)j $ dove j è un opportuno coefficente e farlo scomparire...quindi stiamo addizionando un negativo(l'idea è essenzialmente questa...si va così fino ad esaurire tutti i positivi consecutivi e poi rimangono negativi+negativi) scriviamo $ 0+ (a^n-a^p)x^n+...(a^j-a^p)a_{(s-2)}x^j-(a^p-a^k)(a_sx^k) $ ho scritto 0 perchè latex nn riesce a fare di meglio....però sarebbe $ 0=(a^p-a^k)(a_1x^n+.....a_sx^k) $ ora se facciamo la stessa cosa su tutti i positivi che seguono rimarranno solo quelli a coefficenti negativi a cui segue un bel groppone di espressione negativa dovuta ai positivi precedenti che abbiamo messo e tolto(e il fatto è che nell'aggiunta scompaiono come espressione della radice e nella sottrazione rimangono)...quindi il totale è ovviamente negativo, e dunque prima di essere monotona decrescente o altro è negativa che è proprio la tesi diretta....il fatto che questa operazione è fattibile lasciando intatti il segno di partenza dei coefficenti è dovuto al fatto che abbiamo posto $ a>1 $ e quindi l'esponenziale è crescente e possiamo procedere nell'oridne da destra a sinistra..scusate so che nn si dovrebbe scrivere così una soluzione(sempre ammesso che questa sia la soluzione) ma purtotroppo sto scontando un anno di scampagnate sul forum in queste due settimane di maturità.....beh fatemi sapere quante bufale ho detto 
Ciao!
) poichè sto in piena bufera maturanda non ho avuto tanto tempo per formalizzarla bene:scriviamo $ p(x)=a_1x^n+.........a_sx^k $ dove $ a_1 $ è l'ultimo coefficente negativo(ultimo può anche significare primo e ultimo date le ipotesi) e $ a_s $il primo positivo ora $ p(x)=0 $ e vogliamo vedere che $ p(ax)<0 $ ora $ p(ax)=a^na_1x^n+.......a^ka_sx^k $ ma possiamo riscriverlo come $ a^k(a_1x^n+...a_sx^k)+ (a^n-a^k)a_1x^n+..+(a^p-a^k)a_{(s-1)}x^p $ (scusate se devo dire "si può riscrivere come invece di=ma è colpa di latex nn mia) che diventa $ (a^n-a^k)a_1x^n+....(a^p-a^k)a_{(s-1)}x^p $ ma ora se vogliamo rifare una cosa analoga su questo polinomio dobbiamo fare comparire $ (a_sx^k)j $ dove j è un opportuno coefficente e farlo scomparire...quindi stiamo addizionando un negativo(l'idea è essenzialmente questa...si va così fino ad esaurire tutti i positivi consecutivi e poi rimangono negativi+negativi) scriviamo $ 0+ (a^n-a^p)x^n+...(a^j-a^p)a_{(s-2)}x^j-(a^p-a^k)(a_sx^k) $ ho scritto 0 perchè latex nn riesce a fare di meglio....però sarebbe $ 0=(a^p-a^k)(a_1x^n+.....a_sx^k) $ ora se facciamo la stessa cosa su tutti i positivi che seguono rimarranno solo quelli a coefficenti negativi a cui segue un bel groppone di espressione negativa dovuta ai positivi precedenti che abbiamo messo e tolto(e il fatto è che nell'aggiunta scompaiono come espressione della radice e nella sottrazione rimangono)...quindi il totale è ovviamente negativo, e dunque prima di essere monotona decrescente o altro è negativa che è proprio la tesi diretta....il fatto che questa operazione è fattibile lasciando intatti il segno di partenza dei coefficenti è dovuto al fatto che abbiamo posto $ a>1 $ e quindi l'esponenziale è crescente e possiamo procedere nell'oridne da destra a sinistra..scusate so che nn si dovrebbe scrivere così una soluzione(sempre ammesso che questa sia la soluzione) ma purtotroppo sto scontando un anno di scampagnate sul forum in queste due settimane di maturità.....beh fatemi sapere quante bufale ho detto Ciao!
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
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