funzionale facilina

[fede90]

Trovare tutte le funzioni da R in R tali che $ $f(xy)=(f(x)-1)f(y)-x^2+1$ $ per ogni x,y reali.

Astenersi esperti!

[Oblomov]

Trovare tutte le funzioni da R in R tali che $ $f(xy)=(f(x)-1)f(y)-x^2+1$ $ per ogni x,y reali.

Astenersi esperti!

Dunque dunque dunque...
Ponendo $ x=0 $ nell'equazione di partenza troviamo
$ $f(0)=(f(0)-1)f(y)+1$ $
e raccogliendo $ f(0) $ troviamo
$ $f(0) \cdot (1-f(y))=1-f(y)$ $.
Ci sono due possibilità: $ $f(y)-1=0$ $ per ogni $ $y \in \mathbb R$ $ (cioè f costante e pari a 1) oppure $ $f(0)=1$ $. La prima si scarta facilmente per verifica diretta. Per la seconda basta ripartire dall'equazione iniziale e porre stavolta $ $y=0$ $: troviamo
$ $f(0)=(f(x)-1)f(0)-x^2+1 $.
e per quanto appena detto $ $f(x)=1+x^2$ $.

Verifichiamo che sia rispettata l'equazione data, spegniamo il computer e andiamo a letto che è tardi.

Buonanotte
Ob