Salve a tutti scusate il disturbo e se probabilmente sono ancora una volta fuori tema, ma mi preme troppo la curiosità di capire come si risolvono i seguenti limiti di successioni:
1) $ \lim_{n\longrightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n^2}\frac{1}{n^2+k}
$
2) Sia $ c_n $ una successione in $ \mathbb{R}_+ $ divergente positivamente, allora
$ \lim_{n\longrightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{c_n}{c_n+k} \: (\frac{1}{2})^k
$ tende a 1
limiti successioni
Il secondo credo venga per confronto. Supponiamo che il limite esista, per evitare di scrivere lim inf e lim sup.
$ \lim_{n\longrightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{c_n}{c_n+k}(\frac{1}{2})^k \le \lim_{n\longrightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{2})^k = $$ \sum_{k=1}^{+\infty}(\frac{1}{2})^k =1 $
Fissato a naturale t. c. $ 1 \le a \le n $, osserviamo che $ \sum_{k=1}^{n}\frac{c_n}{c_n+k}(\frac{1}{2})^k \ge \frac{c_n}{c_n+1}\frac{1}{2}+...+\frac{c_n}{c_n+a}(\frac{1}{2})^a $ da cui $ \lim_{n\longrightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{c_n}{c_n+k}(\frac{1}{2})^k \ge $$ \lim_{n\longrightarrow +\infty}\frac{c_n}{c_n+1}\frac{1}{2}+...+ \lim_{n\longrightarrow +\infty}\frac{c_n}{c_n+a}(\frac{1}{2})^a= $$ \frac{1}{2}+...+(\frac{1}{2})^a=1-(\frac{1}{2})^a $.
Data l'arbitrarietà di a $ \lim_{n\longrightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{c_n}{c_n+k}(\frac{1}{2})^k \ge 1 $, da cui si evince l'asserto.
$ \lim_{n\longrightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{c_n}{c_n+k}(\frac{1}{2})^k \le \lim_{n\longrightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{2})^k = $$ \sum_{k=1}^{+\infty}(\frac{1}{2})^k =1 $
Fissato a naturale t. c. $ 1 \le a \le n $, osserviamo che $ \sum_{k=1}^{n}\frac{c_n}{c_n+k}(\frac{1}{2})^k \ge \frac{c_n}{c_n+1}\frac{1}{2}+...+\frac{c_n}{c_n+a}(\frac{1}{2})^a $ da cui $ \lim_{n\longrightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{c_n}{c_n+k}(\frac{1}{2})^k \ge $$ \lim_{n\longrightarrow +\infty}\frac{c_n}{c_n+1}\frac{1}{2}+...+ \lim_{n\longrightarrow +\infty}\frac{c_n}{c_n+a}(\frac{1}{2})^a= $$ \frac{1}{2}+...+(\frac{1}{2})^a=1-(\frac{1}{2})^a $.
Data l'arbitrarietà di a $ \lim_{n\longrightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{c_n}{c_n+k}(\frac{1}{2})^k \ge 1 $, da cui si evince l'asserto.