Preso da una gara di Febbraio.
Io l'ho risolto e lo trovato facile, sapendo come sono scarso io per voi sarà facilissimo quindi vi chiedo di non rispondere se siete esperti in roba del genere.
$ m $ ed $ n $ sono numeri interi maggiori o uguali a 0.
$ \frac {1}{m} + \frac {1}{n} - \frac {1}{mn} = \frac {2}{5} $
Esercizio Facile, Diofantea
osservo che $ n $e$ m $devono essere maggiori di zero poichè denominatori di frazioni. Facciamo minimo comune multiplo ed eliminiamo il denominatore. Otteniamo $ 5n+5m-5=2mn $. Il primo membro è multiplo di 5, quindi anche il secondo lo deve essere. Abbiamo 2 casi possibili: A) uno fra m ed n è multiplo di 5; B) sia m sia n sono multipli di 5.
CASO A:
poniamo $ m=5a $ con a naturale, sostituiamo e semplifichiamo. Otteniamo $ n+5a-1=2an $. Esplicitando la n otteniamo $ \displaystyle n=\frac{5a-1}{2a-1} $
equivalente a $ \displaystyle n=\frac{1}{2}(5+\frac{3}{2a-1}) $. Il binomio $ 2a-1 $ deve essere un divisore di 3 positivo, perchè se fosse negativo avremmo a<0. Per $ 2a-1=3 $ otteniamo a=2, da cui $ m=10 ; n=3 $, Per $ 2a-1=1 $ otteniamo a=1, da cui $ m=5 ; n=4 $. Poichè l'equazione è simmetrica rispetto ad m e n, abbiamo come soluzioni anche $ m=3 ; n=10 $ e $ m=4 ; n=5 $
CASO B:
poniamo $ m=5a $ e $ n=5b $ con a e b naturali. Sostituendo e semplificando otteniamo $ 5a+5b-1=10ab $. Portiamo 10ab al primo membro e -1 al secondo. Raccogliamo a fattore comune al primo membro. Otteniamo$ 5(a+b-2ab)=1 $ che non è mai verificata perchè il primo membro è sempre multiplo di 5.
Le uniche soluzioni sono quindi $ (10,3)(3,10)(5,4)(4,5) $
CASO A:
poniamo $ m=5a $ con a naturale, sostituiamo e semplifichiamo. Otteniamo $ n+5a-1=2an $. Esplicitando la n otteniamo $ \displaystyle n=\frac{5a-1}{2a-1} $
equivalente a $ \displaystyle n=\frac{1}{2}(5+\frac{3}{2a-1}) $. Il binomio $ 2a-1 $ deve essere un divisore di 3 positivo, perchè se fosse negativo avremmo a<0. Per $ 2a-1=3 $ otteniamo a=2, da cui $ m=10 ; n=3 $, Per $ 2a-1=1 $ otteniamo a=1, da cui $ m=5 ; n=4 $. Poichè l'equazione è simmetrica rispetto ad m e n, abbiamo come soluzioni anche $ m=3 ; n=10 $ e $ m=4 ; n=5 $
CASO B:
poniamo $ m=5a $ e $ n=5b $ con a e b naturali. Sostituendo e semplificando otteniamo $ 5a+5b-1=10ab $. Portiamo 10ab al primo membro e -1 al secondo. Raccogliamo a fattore comune al primo membro. Otteniamo$ 5(a+b-2ab)=1 $ che non è mai verificata perchè il primo membro è sempre multiplo di 5.
Le uniche soluzioni sono quindi $ (10,3)(3,10)(5,4)(4,5) $
Ultima modifica di bestiedda il 11 giu 2008, 09:16, modificato 1 volta in totale.
marco
@bestiedda nel Caso A non hai mai escluso che n potesse essere divisibile per cinque, quindi il B potevi anche evitarlo 
P.S. mi sono accorto che forse non è molto chiaro: supponiamo che ci fosse stata una soluzione per cui sia m che n erano multipli di 5, l'avresti trovata già con il caso A, perchè nel caso A non hai utilizzato il fatto che n non fosse multiplo di 5.
P.S. mi sono accorto che forse non è molto chiaro: supponiamo che ci fosse stata una soluzione per cui sia m che n erano multipli di 5, l'avresti trovata già con il caso A, perchè nel caso A non hai utilizzato il fatto che n non fosse multiplo di 5.
Provo pure io:
$ \displaystyle \frac {1}{m} + \frac {1}{n} - \frac {1}{mn} = \frac {2}{5} $
$ \displaystyle 5n+5m-2mn=5 $
$ \displaystyle (2m-5)(-n+ \frac {5}{2})+ \frac {25}{2}=5 $
$ \displaystyle (2m-5)(5-2n)=-15 $
ora si impostano i 4 sistemi possibili, prima però escludiamo che uno dei 2 binomi valga $ \displaystyle -15 $ visto che $ \displaystyle m $ e $ \displaystyle n $ non possono essere negativi; i sistemi diventano 3:
$ \displaystyle \begin{cases} 2m-5=15 \\ 5-2n=-1\\ \end{cases} $
$ \displaystyle \begin{cases} m=10 \\ n=3\\ \end{cases} $
accettabile
$ \displaystyle \begin{cases} 2m-5=3 \\ 5-2n=5\\ \end{cases} $
$ \displaystyle \begin{cases} m=1 \\ n=0\\ \end{cases} $
che non è accettabile
$ \displaystyle \begin{cases} 2m-5=3 \\ 5-2n=-5\\ \end{cases} $
$ \displaystyle \begin{cases} m=4 \\ n=5\\ \end{cases} $
accettabile!
Aggiungendo i risultati simmetrici le soluzioni saranno:
$ \displaystyle \boxed {(3;10)(4;5)(5;4)(10;3)} $
$ \displaystyle \frac {1}{m} + \frac {1}{n} - \frac {1}{mn} = \frac {2}{5} $
$ \displaystyle 5n+5m-2mn=5 $
$ \displaystyle (2m-5)(-n+ \frac {5}{2})+ \frac {25}{2}=5 $
$ \displaystyle (2m-5)(5-2n)=-15 $
ora si impostano i 4 sistemi possibili, prima però escludiamo che uno dei 2 binomi valga $ \displaystyle -15 $ visto che $ \displaystyle m $ e $ \displaystyle n $ non possono essere negativi; i sistemi diventano 3:
$ \displaystyle \begin{cases} 2m-5=15 \\ 5-2n=-1\\ \end{cases} $
$ \displaystyle \begin{cases} m=10 \\ n=3\\ \end{cases} $
accettabile
$ \displaystyle \begin{cases} 2m-5=3 \\ 5-2n=5\\ \end{cases} $
$ \displaystyle \begin{cases} m=1 \\ n=0\\ \end{cases} $
che non è accettabile
$ \displaystyle \begin{cases} 2m-5=3 \\ 5-2n=-5\\ \end{cases} $
$ \displaystyle \begin{cases} m=4 \\ n=5\\ \end{cases} $
accettabile!
Aggiungendo i risultati simmetrici le soluzioni saranno:
$ \displaystyle \boxed {(3;10)(4;5)(5;4)(10;3)} $