Disuguaglianza: può sembrare carina :D

[Simo_the_wolf]

trovare la migliore costante $ k $ tale che per ogni tena di reali positivi $ a,b,c $ valga:

$ a^3+b^3+c^3-3abc \geq k (a-b)(b-c)(c-a) $

[Desmo90]

Possiamo assumere senza perdita di generalità che $ a\leq b\leq c $.
Quindi poniamo $ a=a; b=a+x; c=a+y $ con $ y\geq x\geq 0 $.
Vediamo che $ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)) $
Se moltiplichiamo per 2 entrambi i membri otteniamo
$ (a+b+c)((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2)\geq 2k(-x)(x-y)(y) $
E facendo le sostituizioni al $ LHS $ si ottiene $ (3a+x+y)(x^2-xy+y^2)\geq 2kxy(y-x) $.
Mi sono fermato qui. Qualcuno esperto mi può dire se la strada è giusta oppre no?
è solo una settimana che studio le disequazioni

[Stex19]

Possiamo assumere senza perdita di generalità che $ a\geq b\geq c $.

sei sicuro??
in questo caso avremmo RHS negativo per $ k>0 $, ma se prendi $ b\geq a\geq c $ viene RHS positivo per $ k>0 $.

Quindi poniamo $ a=a; b=a+x; c=a+y $ con $ y\geq x\geq 0 $.
Vediamo che $ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)) $

cmq qua, se $ a\geq b\geq c $ sarà $ c=c; b=c+x; a=c+y $....

[Desmo90]

Si c'è un errore ho sbagliato a scrivere è $ a\leq b\leq c $

[Stex19]

Si c'è un errore ho sbagliato a scrivere è $ a\leq b\leq c $

ma mance questa no so se è giusta, pechè così a sisnistra verrebbe positiva, ma se invece poi come prima a>b>c viene negativa quindi non so se si possa porre quella condizione...

[Desmo90]

secondo me si può mettere sia $ a\geq b\geq c $ sia $ a\leq b \leq c $
Basta dopo fare le giuste sostituzioni con $ $x $ e $ $y $

[EUCLA]

No, si perde eccome la generalità. Una cosa del genere la puoi fare quando la disuguaglianza è simmetrica nelle variabili (cioè le variabili sono "interscambiabili"). In questo caso è ciclica.

[Desmo90]

mi arrendo

[darkcrystal]

Sembrerà anche bella... ma se il risultato è giusto davvero non lo è!
Chiariamo che per me "miglior costante" vuol dire questo: siccome LHS è sempre non negativo per AM-GM, mentre RHS fa un po' quello che gli pare, e cambiando segno a k non si fa altro che scambiare i casi con RHS positivo e negativo, cerco la miglior costante k t.c. $ LHS \geq \left | k(a-b)(b-c)(c-a) \right | $.
Abbozzo solo una dimostrazione, perchè è veramente brutta e non particolarmente significativa. Dato che la disuguaglianza è omogenea, prendo a=1; e dato che l'ho simmetrizzata, prendo $ 1=a \geq b \geq c $
Ora, trovare k equivale a trovare l'estremo inferiore di $ f(b,c)=\displaystyle \frac{1+b^3+c^3-3bc}{(1-b)(b-c)(1-c)} $ (con b e c positivi, $ c<b $; posso supporre che b e c siano diversi tra loro e da uno, perchè in questi casi qualunque k va bene). Derivando f rispetto a c e moltiplicando tale derivata per $ (1-b)(b-c)^2(1-c)^2 $ (che è positivo per le ipotesi fatte) otteniamo $ 1+b-3b^2+b^3+b^4-2(1+b^3)c+6bc^2-2(1+b)c^3+c^4 $ che, crediateci o no, è sempre positivo per $ 0<b<1, 0<c<b $. Da questo si deduce che diminuendo c diminuisco f(b,c), indpendentemente da b, e quindi mi conviene prendere c prossimo a 0. Allora f(b,c) tende a $ f(b,0)=\frac{1+b^3}{b(1-b)} $, il cui minimo si può nuovamente trovare con tecniche standard dell'analisi ed è in corrispondenza di $ b \approx 0.43542 $, e vale circa $ 4.40366 $ che dovrebbe quindi essere la nostra k. Questa k va bene perchè è il minimo di una cosa sempre inferiore alla nostra funzione; ed è la migliore, perchè se ne prendessi un k' più grande, a patto di prendere c sufficientemente prossimo a 0, riuscirei ad avvicinarmi al minimo trovato più di quanto non faccia k'.

Prima che qualcuno mi dica (giustamente) di tutto: questa non vuol essere una dimostrazione, ma solo un abbozzo ed un metodo per trovare il k giusto: se poi possa esistere una dimostrazione non elementare con una costante tanto orrenda, onestamente non so...

[exodd]

svolgendo l'RHS si ha una sommatoria ciclica di $ ka^2(c-b) $
mentre l'LHS si può intendere come sommatoria ciclica di $ a^3-abc $
quindi si ha $ a^3-abc $ maggiore o uguale $ ka^2(c-b) $
semplificando si ha $ a^2+ka(b-c)-bc $ mag o ugale a zero

[exodd]

intendendo $ a^2+ka(b-c)-bc $ come un'equazione di secondo grado a variabile $ a $,
l'equazione sarà positiva o nulla solo per delta negativo o nullo, quindi
$ (k^2)(b-c)^2+4bc $ minore o uguale a zero, ma ciò è impossibile per ogni valore reale positivo di $ b,c $

[exodd]

ditemi se è giusto pleaseeeeeeeeeeeeee

[darkcrystal]

quindi si ha $ a^3-abc $ maggiore o uguale $ ka^2(c-b) $

Affinchè una somma sia non negativa, non è necessario che ogni addendo lo sia...

[exodd]

secondo il mio ragionamento però il miglior valore di [tex]k[/tex] è zero

[jordan]

$ LHS=(a+b+c)[(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)] $$ \ge \prod_{cyc}{(a-b)}=RHS $, ma $ LHS \ge 0 $ per QM-MacLaurin, per cui trovare il miglior (=piu grande) $ k $ equivale al caso in cui un solo fattore di RHS è (strettamente positivo). infatti tutte variabili devono essere distinte e ci riconduciamo a soli tre casi: prendiamo quello in cui $ c>b>a $ (per gli altri due è sufficiente scambiare le lettere). wlog data l'omogeneità $ a+b+c=1 $ per cui possiamo trovare due reali positivi $ (x,y) \in (R^+)^2 $ tali che $ a=b-x $ e $ c=b+y $ da cui $ b=\frac{1+x-y}{3}, a=\frac{1-2x-y}{3}, c=\frac{1+x+2y}{3} $. dato che $ LHS=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)] $ otteniamo che $ kxy(x+y) \le x^2+y^2+xy $. posto che $ S=x+y $ e $ P=xy $ allora $ k \le \frac{S}{P}-\frac{1}{S} $. vediamo che cercare il minimo fissato S equivale al P massimo (che si ha per x=y per AM-GM). risulterà quindi $ k \le \frac{3}{2x} $. cercare il minimo adesso equivale al massimo di {2x} e quindi al valore massimo che puo assumere x ma ricordiamo che $ b=\frac{1}{3}, a=\frac{1}{3}-x, c=\frac{1}{3}+x $ per cui $ x=\frac{1}{3} $. si avrà il caso "migliore" quindi assumendo $ k=\frac{9}{2} $.

be, mi rendo conto che questo valore sia ancora piu forte di quello di darkrystal..mi trovi i tre valori per cui questa mia dimostrazione risulta sbagliata?

[c'è qualcosa che nn torna.. avevo anche scambiato destra e sinistra ]
[scusa quel 3 andava gia semplificato, ..]