Minimizzare/Massimizzare

[Fedecart]

E' vero che non è obbligatorio conoscere le derivate per fare i problemi olimpici (i molti problemi olimpici) in cui si chiede di massimizzare o minimizzare qualcosa, perchè fanno sempre in modo che ci sia una soluzione "elementare", ma è anche vero che che se si sa come risovere il problema col cannone anzichè con la pistola ad acqua non verrà contato sbagliato di certo!
Ora, io so cos'è una derivata, so come trovare la derivata di una funzione data, so che quando è 0 e cambia segno da + al - la funzione originale ha un massimo relativo, e che quando la derivata è 0 e cambia segno dal - al + la funzione originale ha un minimo relativo. La domanda è: mi basta scrivere la derivata della funzione in questione e risolverla uguale a 0 per vedere dov'è il minimo-massimo? Posso fare questo ogni volta in gara e i correttori saranno ok?
E poi, come si trova la derivata di una funzione in 2 variabili, se non c'è il segno dell'uguale? Nel senso io so trovare la derivata di $ x^2-8xy+19y^2=5x+3y $
Ma se mi date semplicemente $ x^2-8xy+19y^2 $ la derivata non la so trovare, e mi serve per il massimo/minimo!

[Oblomov]

Ma se mi date semplicemente $ x^2-8xy+19y^2 $ la derivata non la so trovare, e mi serve per il massimo/minimo!

Qui ad esempio dovresti porre $ x^2-8xy+19y^2=z $ e cercare i punti di massimo (eventualmente nel dominio delle soluzioni accettabili per i dati del problema). Questo richiede di impostare una matrice hessiana che oltre ad essere rischiosa (è facile sbagliare i calcoli o dimenticarsi la formuletta di rito) può non portare a nulla di realmente praticabile (ad es. possono saltar fuori equazioni impervie). Meglio le tecniche olimpiche dunque

[fph]

1) per trovare massimi e minimi di una funzione in due variabili c'è una teoria che "generalizza le derivate", la trovi per esempio sulle dispense di Kedlaya sulle disuguaglianze.
2) in generale, non basta porre una derivata uguale a zero per dimostrare che certi punti sono minimi e massimi assoluti: bisogna studiare cosa succede alla funzione all'infinito (o in generale sul bordo del dominio). Per funzioni di una variabile di solito è stupido, ma in più variabili spesso è non banale.
3) se usi una derivata in gara, non sperare neanche lontanamente che i correttori chiudano un occhio su dettagli come quelli del punto sopra. Se poni una derivata uguale a zero, risolvi, e te ne freghi di tutto il resto puoi sperare al massimo di cavarci fuori un punto su sette.
4) se un problema si risolve troppo facilmente con le derivate (o generalizzazioni), di solito non viene dato in una gara.

[Fedecart]

Concordo sul punto 2, infatti ho detto minimo o massimo relativo! Magari al bordo dell'intervallo in questione la funzione ha un valore più alto o basso, oppure se il dominio in questione è infinito bisogna studiarne il comportamento quando va ad infinito o a -infinito...
Questo non è un problema se sono ad una sola variabile, come hai deto tu giustamente, non è difficile, riesco a farlo. Con 2 variabili iniziano i problemi...
Per il punto 4, posso solo mettere questa faccina

[Poliwhirl]

Io ricordo che nella gara di Cesenatico del 2007, se si risolveva il problema numero 1 con l'uso delle derivate, i correttori penalizzavano significativamente il punteggio, anche fino a 4 punti in meno su 7... meglio sempre attenersi agli standard olimpici...

Bye,
#Poliwhirl#

[SkZ]

$ x^2-8xy+19y^2=5x+3y $
Innanzi tutto questa non e' una funzione e quindi non ha senso derivarla. E' quello che si chiama variata' n-1 dimensionale (non so se la stai definendo in $ $\mathbb{R}^2$ $, ove dovrebbe essere un ellisse inclinato, o in $ $\mathbb{R}^3$ $ o altro . E' il luogo dei punti per cui vale tale equazione.
A volte ci sono problemi matematici (non solo olimpionici) che richiedono di trovare massimi e/o minimi di una funzione non nel suo dominio ma all'interno di una varieta'. In tal caso la normale derivazione estudio di funzione non basta e bisogna usare i famigerati "moltiplicatori di Lagrange", non troppo complicati da usare una volta capiti e che, da quanto ho capito, sono tanto abusati da molti partecipanti di alto livello.

E' vero: se fai centro col cannone va meglio che usare la pistola (vedi problema dei primi tranne 2 come differenza di quadrati: piu' facile dimostrarlo per tutti i dispari)
E' vero anche che quando fai cilecca ti fai molto piu' male con un cannone che con una pistola.
Quindi attenzione.
A volte un sistema piu' cretino puo' essere piu' semplice e piu' potente nei risultati.
Ad es. il thread dove si chiedeva di dimostrare che se $ $p\neq2\quad \Rightarrow\quad p=n^2-m^2$ $. In tanti si sono buttati sulle congruenze e altro. Poi uno ha scritto
$ $2n+1=(n+1)^2-n^2$ $

Ovunque, meno il tuo sistema richiede di scrivere, piu' e' valutato. Le derivate richiedo abbastanza da scrivere. I moltiplicatori ancora di piu'.

[fph]

Io ricordo che nella gara di Cesenatico del 2007, se si risolveva il problema numero 1 con l'uso delle derivate, i correttori penalizzavano significativamente il punteggio, anche fino a 4 punti in meno su 7... meglio sempre attenersi agli standard olimpici...

Well, non è esatto: una soluzione corretta e completamente giustificata, qualunque tecnica utilizzi, prende 7 punti. Il punto è che scrivere una "soluzione corretta e completamente giustificata" usando le derivate è più difficile di quello che sembra a prima vista. I correttori poi se vedono una soluzione elementare incompleta cercano di salvare il salvabile e attribuire punteggi parziali (per aver trovato parte delle idee); se però tutto quello che c'è scritto sul foglio è una derivata mal giustificata, o peggio sbagliata, c'è poco da salvare e quindi il punteggio si abbassa.
Per esempio, nello scorso Cesenatico a un certo punto c'era da risolvere la diofantea 3^y-2^x=1. Chi cercava di farla in modo elementare, tirava fuori qualche idea e si impappinava di solito un punto per aver tirato fuori le idee lo prendeva. Chi cercava di utilizzare il cannone sbagliando l'enunciato (es. "le uniche potenze perfette che differiscono di 1 sono 8 e 9, per il teorema di Mihailescu, quindi l'unica soluzione è (2,3)"), veniva bastonato.