numeri primi della forma....

[bestiedda]

a) dimostrare che esistono infiniti primi della forma $ $4n+3 $ con $ $n $ intero maggiore o uguale a 0
b) dimostrare che esistono infiniti primi della forma $ $6n+5 $ con $ $n $ intero maggiore o uguale a 0

[String]

Ci provo... Allora, per il caso a) Consideriamo un numero a della forma $ 4n+3 $ dove $ n=(5\cdot 7\cdot ...\cdot p)+3 $ cioè formato da tutti i numeri primi fino a p dove p è il massimo primo della forma $ 4n+3 $. $ a $ quindi non è divisibile per nessun fattore primo e quindi si deduce che a o è un numero primo, o è divisibile per un numero primo maggiore di p. Ciò dice appunto che i primi di questa forma sono infiniti. Per la b) la dimostrazione dovrebbe essere analoga a questa... Giusto?

[mikitopo01]

a) Supponiamo per assurdo che esistano un numero finito di primi del tipo 4n+3, e li elenchiamo in questo modo {a0, a1, a2...ak).
Calcoliamo il doppio del prodotto di tutti i primi minori di ak (quindi divisibile per 4), e al risultato sottraiamo 1, ottenendo un numero del tipo 4n+3. Questo numero non è divisibile per nessuno dei primi minori di ak, perchè altrimenti si avrebbero due divisori di ai a distanza 1, e anche la loro differenza (1) dovrebbe essere divisibile per ai. In particolare, non è divisibile per nessuno degli ai.
Questo numero può essere:
- primo, e in tal caso la dimostrazione è finita perchè abbiamo trovato un primo del tipo 4n+3 maggiore di an.
- scomponibile in due o più primi del tipo 4n+1, impossibile perchè il prodotto di qualsiasi coppia di numeri del tipo 4n+1 dà un numero del tipo 4n+1
- divisibile per 2 (unico primo che non è del tipo 4n+1 nè 4n+3), impossibile perchè è di tipo 4n+3

b) Analogamente, supponiamo per assurdo che esistano un numero finito di primi del tipo 6n+5, e li chiamiamo {b0, b1...bk}.
Calcoliamo il prodotto di tutti i numeri primi minori di bk, che è senza dubbio un multiplo di 6, e sottraiamo 1. Il numero ottenuto non è divisibile per nessuno dei bi, perchè altrimenti anche la differenza tra questo e il successivo dovrebbe essere divisibile per bi. Il numero ottenuto può essere:
- primo, e in tal caso la dimostrazione per assurdo è finita perchè abbiamo trovato un primo del tipo 4n+3 maggiore di an.
- scomponibile in due o più primi del tipo 6n+1, impossibile perchè il prodotto di ogni coppia di numeri del tipo 6n+1 ha come risultato un numero del tipo 6n+1
- divisibile per 2 o per 3, unici primi non del tipo 6n+1 o 6n-1, impossibile perchè è di tipo 6n-1.

Giusto? Ho dimenticato qualcosa? C'era un modo migliore?
Ciao ciao,
Mike

[SkZ]

a) Supponiamo per assurdo che esistano un numero finito di primi del tipo 4n+3, e li elenchiamo in questo modo {a0, a1, a2...ak).
[...]
Questo numero non è divisibile per nessuno dei primi minori di ak, perchè altrimenti si avrebbero due divisori di ai a distanza 1, e anche la loro differenza (1) dovrebbe essere divisibile per ai. [..]
- primo, e in tal caso la dimostrazione è finita perchè abbiamo trovato un primo del tipo 4n+3 maggiore di an.
[...]

b) [...]
Il numero ottenuto non è divisibile per nessuno dei bi, perchè altrimenti anche la differenza tra questo e il successivo dovrebbe essere divisibile per bi. Il numero ottenuto può essere:
- primo, e in tal caso la dimostrazione per assurdo è finita perchè abbiamo trovato un primo del tipo 4n+3 maggiore di an.
- scomponibile in due o più primi del tipo 6n+1, impossibile perchè il prodotto di ogni coppia di numeri del tipo 6n+1 ha come risultato un numero del tipo 6n+1
- divisibile per 2 o per 3, unici primi non del tipo 6n+1 o 6n-1, impossibile perchè è di tipo 6n-1.

Giusto? Ho dimenticato qualcosa? C'era un modo migliore?
Ciao ciao,
Mike

solo un paio di correzioni minori (scritte in ordine di comparizione e riferendosi alle parti evidenziale)

intendi multipli di $ ~a_i $

$ ~a_k $, non $ ~a_n $

secondo me e' meglio se dove escludi i fattori del tipo $ $4k+3$ $ lo metti con le altre esclusioni o lo ribadisci e se metti che deve essere primo per ultimo caso.

Un po' fumosa la parte sulla non divisibilita': prima avevi scritto piu' chiaro.

Attento al copia incolla che copi anche errori

Stesso punto di sopra


Cmq forse era meglio dire che il numero da te costruito nella forma $ $4k+3$ $ ha solo fattori dispari (essendo dispari) e quindi almeno un fattore primo nella forma $ $4k+3$ $. Questo non puo' essere minore o uguale a $ ~a_k $ per costruzione. Ergo esiste un numero primo della forma $ $4k+3$ $ maggiore del massimo di questi. Assurdo.
E puoi anche limitarti a prendere 4 volte il prodotto di tutti gli $ ~a_i $ meno 1