simmetrica, transitiva e....

[PatrickStar]

quesito carino anche se piuttosto elementare in realtà (se volete spostatelo in matematica ricreativa...):
data una relazione $ \, R \, $ su $ \, X \, $, ovvero un sottoinsieme $ \, R \, $di $ X \times X $ (diremo che $ xRy $ se $ (x,y)\in R $) che soddisfi le proprietà di:

1. simmetria: $ \forall x,y \in X \; xRy \Rightarrow yRx $;
2. transitività: $ \forall x,y,z \in X \; xRy \, , \, yRz \Rightarrow xRz $;

allora vale anche la proprietà riflessiva ($ \forall x\in X \; xRx $)?
motivare la risposta...

(per i meno avvezzi: una relazione simmetrica, transitiva e riflessiva si chiama relazione di equivalenza, un esempio banale è l'uguaglianza fra numeri)

[pic88]

Basta che sia sempre falsa....

[PatrickStar]

allora sono sempre false anche la proprietà transitiva e quella simmetrica...idea interessante...quindi $ R=\emptyset $!!
ma questa è una relazione che non mette nulla in relazione...

[pic88]

No, ti sbagli. Falso implica falso = vero. quindi le due relazioni, che non sono del tipo "xRy", ma "(xRy)->qualcosa" restano vere.

[PatrickStar]

assolutamente no...vedi se $ xRy \Rightarrow yRx $ per la proprietà simmetrica, ma $ xRy, yRx \Rightarrow xRx $ per la proprietà transitiva...ma se $ xRx $ è sempre falso, allora non devono mai essere soddisfatte le proposizioni precedenti...ovvero $ R = \emptyset $!!

[pic88]

E in effetti $ R=\varnothing $ gode della proprietà simmetrica e transitiva

[pic88]

Ti sei mai chiesto perché nella definizione di gruppo gli algebristi si ostinano a dire che l'1 deve appartenere al gruppo? non basterebbe usare che il gruppo è interno per composizione, e che ogni elemento ha inverso?? no, perché queste due proprietà sono soddisfatte anche dall'insieme vuoto, quindi "1 appartiene a G" è un'informazione utile: in particolare, ti dice che G non è vuoto.

Spero di essere stato chiaro

[PatrickStar]

non dico affatto sia sbagliato...ma è ammetterai che è un caso molto poco interessante...sai ad essere sinceri l'insieme vuoto soddisfa tutte le proprietà che richiedi siano soddisfatte...pure quella riflessiva...quindi secondo te posso tranquillamente affermare che ogni relazione non triviale(diversa da quella nulla) simmetrica e transitiva è anche riflessiva?

[PatrickStar]

Ti sei mai chiesto perché nella definizione di gruppo gli algebristi si ostinano a dire che l'1 deve appartenere al gruppo? non basterebbe usare che il gruppo è interno per composizione, e che ogni elemento ha inverso?? no, perché queste due proprietà sono soddisfatte anche dall'insieme vuoto, quindi "1 appartiene a G" è un'informazione utile: in particolare, ti dice che G non è vuoto.

Spero di essere stato chiaro

rimane il fatto che la relazione nulla può essere considerata una relazione di equivalenza a tutti gli effetti...almeno sull'insieme nullo...mentre per la definizione di gruppo il vuoto non è un gruppo.

[pic88]

Anche ciò è falso.

EDIT:siccome nel frattempo hai risposto, spezzo in 2:
1- il vuoto non è riflessiva e non è d'equivalenza.
2- Se aggiungi che R è nonvuota, poco cambia.
Prendi$ xRy:= x^2+y^2=0 $ nei reali... essa non è vuota (contiene (0;0)), è simmetrica, è transitiva, ma non riflessiva.

[PatrickStar]

è vero...non è riflessiva...ma perchè?

[PatrickStar]

per il vuoto come insieme la relazione nulla è riflessiva...

[pic88]

Ok, fermiamoci qui. Devo studiare, la situazione sta degenerando, il tuo avatar è così grande che la pagina ci mette un sacco a caricarsi, e inoltre la discussione rischia di non essere di interesse pubblico. Se, dopo aver STUDIATO la definizione di relazione di equivalenza, qualcosa di quel che ho scritto non ti torna, scrivimi pure via mp.


http://it.wikipedia.org/wiki/Propriet%C3%A0_riflessiva

Ciao

[PatrickStar]

ma lo so benissimo che la definizione di relazione di equivalenza richiede tre proprietà...e so anche benissimo che è perchè simmetrica e transitiva non implicano riflessiva...ma perchè? è la mia domanda originale...ti ho già scritto che a prima vista simmetricità e transitività sembrano implicare la riflessività: $ xRy\Rightarrow yRx $ e $ xRy\, ,\, yRx\Rightarrow xRx $... ma questa dimostrazione non va bene...perchè?

[edriv]

Ti sei mai chiesto perché nella definizione di gruppo gli algebristi si ostinano a dire che l'1 deve appartenere al gruppo? non basterebbe usare che il gruppo è interno per composizione, e che ogni elemento ha inverso?? no, perché queste due proprietà sono soddisfatte anche dall'insieme vuoto, quindi "1 appartiene a G" è un'informazione utile: in particolare, ti dice che G non è vuoto.

(faccio un intervento che non centra niente, però parlare di inverso senza prima aver definito l'elemento neutro mi sembra molto poco naturale)