simmetrica, transitiva e....

[pic88]

Ascolta bene.... è vero: preso un elemento x, se hai la fortuna di trovare y tale che xRy, allora si festeggia! xRy -> yRx per simmetria, ma allora xRx per transitività. Urrà!!!

Ma se non esiste un siffatto y???
Allora c'è da mettersi a piangere, perché non potrai mai usare il fatto che xRy per dedurre xRx.

Prendiamo la relazione da me definita mediante x^2+y^2=0. Per x=1, nei reali, esiste y tale che xRy??? Purtroppo no, e che ci vuoi fare, è la vita.
Ma allora, anche se da 1Ry potresti dedurre 1R1, non puoi certo dire subito che 1R1, perché non hai alcun y a cui appoggiarti.

P.S.: edriv ha ragione, ma è anche vero che a volte si dà per scontato il concetto di inverso (ad esempio nel ricercare un sottogruppo di un gruppo dato).

EDIT: aggiungo che è ben diverso definire l'elemento neutro dal dire che ogni gruppo deve averlo..

[PatrickStar]

esatto è proprio quello il problema...può non esistere $ \, y\, $...quindi $ \, x\, $ non è in relazione con nulla...per questo quella dimostrazione è errata...però la cosa interessante è che data una relazione simmetrica e transitiva si individuano immediatamente due sottinsiemi disgiunti di $ \, X\, $, uno è quello degli elementi che non sono legati a nessun altro dalla relazione $ \, R \, $, e uno in cui $ \, R\, $ è relazione d'equivalenza...così, tanto per dire...

[pic88]

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