dai "miscellanea" del libro delle olimpiadi
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trovare tutti i numeri di quattro cifre che sono dei quadrati e hanno le prime due cifre uguali e le ultime due cifre uguali
marco
Ci provo anche se con la soluzione forse più calcolosa....
Allora, per essere dei quadrati le loro cifre finali possono essere solo 1,4,5,6,9. Consideriamo le cifre che terminano per 1. Se sono quadrati devono essere congrui a 1 modulo 4. Nessun numero soddisfa questa condizione. Consideriamo le cifre che terminano per 4. Essi possono essere dati da numeri che terminano per 2 o per 8. in entrambi i casi notiamo che c'è una periodicità con cui ricorrono le cifre delle decine. Nel primo aumentano di 4. Il numero che può terminare con due 4 è 62 ma al qudrato non soddisfa l'altra condizione. per 8 invece aumentano di 6. le cifre possibili sono $ 38^2 e 88^2 $ Quest'ultima soddisfa le condizioni perchè è 7744. per quanto riguarda i numeri che terminano per 5 basta notare che i qudrati terminano sempre per 25 quindi non c'è nessun numero. Per quelli che terminano con 6 procedo con la stessa osservazione di prima e vedo che i numeri delle decine aumentano di 2 per i numeri che terminano con 6 e diminuiscono di 2 per quelli che terminano con 4 ma in entrambi i casi rimangono sempreo numeri dispari e non funziona. Infine per i numeri che terminano per 9 si nota sempre che le decine diminuiscono di 4 per i numeri che terminano per 3 e diminuiscono di 2 per quelli che terminano per 7 ma in entrambi i casi rimangono numeri pari quindi anche qui non funziona. Quindi credo che l'unico numero sia $ 7744=88^2 $ Spero di essere stato chiaro e che sia giusto anche se sicuramente ci sarà qualche soluzione più veloce senza tutti questi calcoli...
Allora, per essere dei quadrati le loro cifre finali possono essere solo 1,4,5,6,9. Consideriamo le cifre che terminano per 1. Se sono quadrati devono essere congrui a 1 modulo 4. Nessun numero soddisfa questa condizione. Consideriamo le cifre che terminano per 4. Essi possono essere dati da numeri che terminano per 2 o per 8. in entrambi i casi notiamo che c'è una periodicità con cui ricorrono le cifre delle decine. Nel primo aumentano di 4. Il numero che può terminare con due 4 è 62 ma al qudrato non soddisfa l'altra condizione. per 8 invece aumentano di 6. le cifre possibili sono $ 38^2 e 88^2 $ Quest'ultima soddisfa le condizioni perchè è 7744. per quanto riguarda i numeri che terminano per 5 basta notare che i qudrati terminano sempre per 25 quindi non c'è nessun numero. Per quelli che terminano con 6 procedo con la stessa osservazione di prima e vedo che i numeri delle decine aumentano di 2 per i numeri che terminano con 6 e diminuiscono di 2 per quelli che terminano con 4 ma in entrambi i casi rimangono sempreo numeri dispari e non funziona. Infine per i numeri che terminano per 9 si nota sempre che le decine diminuiscono di 4 per i numeri che terminano per 3 e diminuiscono di 2 per quelli che terminano per 7 ma in entrambi i casi rimangono numeri pari quindi anche qui non funziona. Quindi credo che l'unico numero sia $ 7744=88^2 $ Spero di essere stato chiaro e che sia giusto anche se sicuramente ci sarà qualche soluzione più veloce senza tutti questi calcoli...
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
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ovvero:
un numero $ aabb=n^2 $ e' multiplo di 11 quindi di 121, ergo devo trovare i numeri $ $a0b$ $ multipli di 11, quindi $ $(a+b-0)\equiv 0\mod 11$ $, tali che $ $b\in \{0,1,4,5,6,9\}$ $. Si vede facilmente che si ha solo il caso $ $a+b=11$ $.
Il resto e' noia
un numero $ aabb=n^2 $ e' multiplo di 11 quindi di 121, ergo devo trovare i numeri $ $a0b$ $ multipli di 11, quindi $ $(a+b-0)\equiv 0\mod 11$ $, tali che $ $b\in \{0,1,4,5,6,9\}$ $. Si vede facilmente che si ha solo il caso $ $a+b=11$ $.
Il resto e' noia
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]
Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
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