Finale Cesenatico 2008...Uomo Radioattivo...prob. #17

[Lupacante]

C'è qualcuno che ha la soluzione?

[Tibor Gallai]

C'è qualcuno che ha il problema?

[Agi_90]

ma quanto siete pigri

Arc si è appassionato ad un nuovo videogioco che mette in palio il fantastico Uomo Radioattivo Magnetico per chi riesce a superare la ``misera'' soglia di 5000 punti. Elettrizzato, vi ha investito decine di dollari, ma non avendo ancora vinto si chiede la probabilità di portarsi a casa l'ambito premio. Lo schema di gioco è il seguente:

(vedi sotto)

Si parte con 1 punto, dalla casella P, e si finisce in F. Ad ogni turno ci si sposta di una casella a destra, sinistra, alto o basso, senza poter tornare su una casella già visitata. Su ognuna delle caselle scure c'è con pari probabilità o un secchione da picchiare, che raddoppia il punteggio, o un bullo che ti pesta, che invece lo dimezza (il punteggio non è necessariamente intero). Bulli e secchioni si riconoscono da lontano, quindi si puo' scegliere la strada migliore. Sapreste dire il numeratore della frazione ridotta ai minimi termini della probabilità di vincere il premio?

[exodd]

se incontri almeno tre bulli hai perso
inoltre ci sono delle caselle su cui devi passare per forza, mentre altre in cui puoi scegliere
tre alla quinta fratto due alla ventesima è la probabilità che non incontri nemmeno un bullo

[julio14]

Si deve passare su quindici caselle, tre per ogni quadratino 4x4, di queste 3 2 sono obbligate e 1 è a scelta fra due. Le possibilità totali, avendo 20 caselle, sono $ 2^{20} $, analizziamo quelle favorevoli. Poichè dobbiamo fare 5000 punti, dobbiamo beccare o 14 secchioni e 1 bullo o 15 secchioni. Vediamo 15 secchioni. Le dieci caselle obbligate devono essere tutte secchione, 1 possibilità. Nelle altre, abbiamo in ogni 4x4 3/4 di probabilità di trovare un secchione, perchè basta che ce ne sia uno e noi scegliamo quella strada. Quindi i casi favorevoli sono $ 3^5 $. Se invece troviamo 14 secchioni e un bullo: se il bullo è in una casella obbligata, abbiamo 10 possibilità, moltiplicate per la probabilità di trovare solo secchioni in quelle a scelta, quindi $ 10\cdot3^5 $. Se il bullo sta su una di quelle a scelta, abbiamo 1 possibilità per quelle obbligate, 5 possibilità per il bullo (cioè un 4x4 dovrà avere bulli in entrambe le caselle a scelta) e $ 3^4 $ perchè ci siano secchioni nelle altre a scelta, in totale $ 5\cdot 3^4 $. Ricapitolando, abbiamo $ 3^5+10\cdot3^5+5\cdot3^4=3^4(3+30+5)=3^4\cdot 38 $ casi favorevoli. La probabilità è quindi $ $\frac{3^4\cdot38}{2^{20}}=\frac{3^4\cdot19}{2^{19}}=\frac{1539}{2^{19}} $ (io proverei con un altro gioco)

@exodd quando ho iniziato a scrivere non avevi ancora risposto... cmq ne bastano due di bulli a farti perdere.

[Lupacante]

grazie julio