disuguaglianze, ancora!!

[Simo_the_wolf]

Conoscerete certamente la disuguaglianza di Nesbitt, tanto famosa e oramai costellata di miliardi di dimostrazioni... (grazie a Boll ecco qui un topic di cui se ne parla in lungo e iln largo)

Voglio vederla un po' più in generale: mi chiedo qual è il massimo $ k_\alpha $ per cui è verificata per ogni terna $ (a,b,c) $ di reali positivi:

$ \displaystyle \left( \frac a{b+c} \right) ^ \alpha + \left( \frac b{c+a} \right) ^ \alpha + \left( \frac c{a+b} \right) ^ \alpha \geq k_\alpha $

Risolvete in particolare per i casi:

(i) $ \alpha \geq 1 $
(ii) $ \alpha = 2/3 $
(iii) $ \alpha = 1/2 $

Provate un po' a vedere anche che succede in generale...

[jordan]

comincio col punto (i)..se $ \{(\alpha \ge 1 \vee \alpha \le 0) \wedge f(x)=x^{\alpha}\} \implies f''(x)>0 $ per cui:
$ \sum_{cyc}{({\frac{a}{b+c}})^{\alpha}} \ge 3 [\frac{1}{3}\sum_{cyc}{\frac{a}{b+c}}]^{\alpha} \ge 3\cdot 2^{-\alpha} $, la prima vera per Jensen (o Karamata maggiorata sulla AM) e la seconda per il link di Boll..

[Simo_the_wolf]

Se $ \alpha <0 $ la seconda disuguaglianza funziona poco no?

[jordan]

pikkè?
se $ \beta=-\alpha \ge 0 $ allora $ \sum_{cyc}{{\frac{a+b}{c}}^{\beta} \ge 3\cdot [\frac{1}{3}\frac{\sum_{sym}{a^2b}}{abc}]^{\beta} \ge 3\cdot [\frac{1}{3}\frac{\sum_{sym}{abc}}{abc}]^{\beta}=3\cdot 2^{-\alpha} $?

[Simo_the_wolf]

Ok ora va bene... resta il caso $ 0 \leq \alpha < 1 $