A un certo punto della dimostrazione c'è un edit in rosso, fatto dopo che pic mi ha chiarito cosa voleva dire 
(Si, avevo fatto un erroraccio brutto)
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Parte A
Guardiamo il grado di $ [f(x)]^3-[g(x)]^3 $.
Semplicemente lo scrivo come $ \displaystyle \stackrel{(1)}{[f(x)-g(x)]}\stackrel{(2)}{[f^2(x)+f(x)g(x)+g^2(x)]} $
Sia $ \deg[f(x)]=m $ e $ \deg[g(x)]=n $.
Caso 1:
La derivata di entrambe le funzioni esiste perchè sono polinomi.
Se $ f'(x)-g'(x)=0 $ si ha che $ f(x)-g(x)=k $ cioè $ \deg[f(x)-g(x)]=0 $.
Sbagliato: In questo caso risulta anche $ \deg [f^3(x)-g^3(x)]=0 $.
Giusto : La parentesi di destra, che poi vedremo che ha grado $ 2d $ resta moltiplicata per un coefficiente e mantiene dunque il suo grado.
Caso 2:
$ \deg[f(x)-g(x)]\not =0 $. Il massimo che può assumere $ \deg[f(x)-g(x)] $ si ha quando il coefficiente di grado massimo di $ f(x) $ o $ g(x) $ non si annullano. Dunque $ \deg[f(x)-g(x)] $ assume uno dei valori dell'insieme $ \{1,2,\dots ,d\} $.
Valutiamo $ (2) $. Risulta che $ \deg[f^2(x)]=2\deg[f(x)] $ e allo stesso modo $ \deg[g^2(x)]=2\deg[g(x)] $.
Inoltre $ \deg[f(x)g(x)]=\deg[f(x)]+\deg[g(x)]=m+n $.
Dunque, poichè la $ (2) $ è una somma si ha che:
$ \deg[f^2(x)+f(x)g(x)+g^2(x)]=\max \{2m, m+n, 2n\} $.
Ma $ m+n\le 2d,\ 2m\le 2d,\ 2n\le 2d $. Poichè $ d $ è uno dei due valori $ m, n $ si ha che almeno una delle tre uguaglianze si verifica sempre. Dunque $ \max\{2m, m+n, 2n\}=2d $.
Allora $ 2d \le \deg[f^3(x)-g^3(x)]\le 3d $
Secondo edit, grazie Pi
Parte B
$ R(x)=ax^3+bx^2+cx+d $ con $ a,b,c,d \in \matbb{R} $
Dunque $ R[f(x)]=af^3(x)+bf^2(x)+cf(x)+d $, $ R[g(x)]=ag^3(x)+bg^2(x)+cg(x)+d $.
Allora $ R[f(x)]-R[g(x)]=a[f(x)-g(x)][f^2(x)+f(x)g(x)+g^2(x)]+ $$ b[f(x)-g(x)][f(x)+g(x)]+c[f(x)-g(x)] $
$ [f(x)-g(x)][af^2(x)+af(x)g(x)+ag^2(x)+bf(x)+bg(x)+c]=0 $
Supponiamo per assurdo che sia $ f(x)-g(x)\not =0 $.
Allora $ A=af^2(x)+af(x)g(x)+ag^2(x)+bf(x)+bg(x)+c=0 $
Considero $ R'(x)=3ax^2+2bx+c $.
$ B=R'[f(x)+g(x)]=3af^2(x)+6af(x)g(x) $$ +3ag^2(x)+2bf(x)+2bg(x)+c $
$ B=2A+af^2(x)+4af(x)g(x)+ag^2(x)= $$ a[f^2(x)+4f(x)g(x)+g^2(x)] $
Consideriamo la quantità $ C=f^2(x)+f(x)g(x)+g^2(x) $ che è sempre positiva. Infatti $ C=[f(x)\pm g(x)]^2 \mp 2f(x)g(x) $.
In pratica possiamo aggiustarci i segni come vogliamo, a seconda che $ f(x), g(x) $ siano concordi o discordi.
Dunque, escludendo il caso in cui $ a=0 $, altrimenti il polinomio $ R(x) $ non sarebbe più di 3° grado, si ha che o $ B>0 $ o $ B<0 $. In sintesi, considerando la funzione $ R(x) $, questa è strettamente crescente o decrescente. Dunque se $ R[f(x)]=R[g(x)]\Rightarrow f(x)=g(x) $.
Complimenti a chi ha il coraggio di leggerselo fin qui
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che vi (e mi) risparmio di postare.