Mostrare che uno tra $ 5n^2-4 $ e $ 5n^2+4 $ è un quadrato perfetto.
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Fibonacci e quadrati perfetti
Fibonacci e quadrati perfetti
Sia n un numero di Fibonacci.
Mostrare che uno tra $ 5n^2-4 $ e $ 5n^2+4 $ è un quadrato perfetto.
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Mostrare che uno tra $ 5n^2-4 $ e $ 5n^2+4 $ è un quadrato perfetto.
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Allora, sia $ F_{n} $ l'ennesimo numero di Fibonacci.
Voglio dimostrare che $ 5\cdot F_{n}^2+(-1)^{n}\cdot4=(F_{n-1}+F_{n+1})^2 $. Essendo $ F_{n-1}+F_{n+1} $ un intero, si ha la tesi.
Innanzitutto vado a rispulciare l'identità di Cassini: $ F_{n-1}\cdot F_{n+1}-F_{n}^2=(-1)^{n} $. La dimostrazione di questa identità è piuttosto agevole e si fa per induzione.
Poichè, per definizione, $ F_{n}=F_{n+1}-F_{n-1} $, si ha: $ F_{n}^2=(F_{n+1}-F_{n-1})^2=(F_{n+1}+F_{n-1})^2-4\cdot F_{n+1}F_{n-1} $.
Usando l'identità di Cassini, $ F_{n}^2=(F_{n+1}+F_{n-1})^2-4\cdot F_{n}^2-4\cdot (-1)^n $.
Portando a sinistra gli ultimi due termini, ottengo esattamente quello che volevo dimostrare.
Voglio dimostrare che $ 5\cdot F_{n}^2+(-1)^{n}\cdot4=(F_{n-1}+F_{n+1})^2 $. Essendo $ F_{n-1}+F_{n+1} $ un intero, si ha la tesi.
Innanzitutto vado a rispulciare l'identità di Cassini: $ F_{n-1}\cdot F_{n+1}-F_{n}^2=(-1)^{n} $. La dimostrazione di questa identità è piuttosto agevole e si fa per induzione.
Poichè, per definizione, $ F_{n}=F_{n+1}-F_{n-1} $, si ha: $ F_{n}^2=(F_{n+1}-F_{n-1})^2=(F_{n+1}+F_{n-1})^2-4\cdot F_{n+1}F_{n-1} $.
Usando l'identità di Cassini, $ F_{n}^2=(F_{n+1}+F_{n-1})^2-4\cdot F_{n}^2-4\cdot (-1)^n $.
Portando a sinistra gli ultimi due termini, ottengo esattamente quello che volevo dimostrare.