Integrale uguale a.. fattoriale.

[Goldrake]

Un esercizietto carino su un integrale.

Dimostrare che vale
$ $\int_0^{+\infty} x^n e^{-x} \textrm{d}x=n! $

$ $n\in \mathbb{N}$ $

Spero non se ne sia già parlato, io non l'ho trovato.

Buon lavoro.

[EUCLA]

Corretti alcuni segni

Uso un procedimento un pò standard..però son curiosa di sapere se c'è qualcosa di più carino

Consideriamo prima $ \displaystyle \int{x^ne^{-x} \ dx} $.
Integro per parti, ottenendo:

$ \displaystyle \int{x^ne^{-x} \ dx}=-x^ne^{-x}+\int{nx^{n-1}e^{-x} \ dx} $.

Posso reiterare il procidimento:

$ \displaystyle \int{nx^{n-1}e^{-x} \ dx}=-nx^{n-1}e^{-x}+\int{n(n-1)x^{n-2}e^{-x} \ dx} $

Fino a ottenere induttivamente che:

$ \displaystyle \int{x^ne^{-x} \ dx}=-\sum_{i=0}^{n-1}i!\binom{n}{i}x^{n-i}e^{-x}+n!e^{-x}= $ $ -e^{-x}\displaystyle \bigg(\sum_{i=0}^{n-1}i!\binom{n}{i}x^{n-i}+n!\bigg ) $

Tornando al problema originale:

$ \displaystyle \int_{0}^{+\infty}{x^ne^{-x} \ dx}=\bigg[-e^{-x}\displaystyle \bigg(\sum_{i=0}^{n-1}i!\binom{n}{i}x^{n-i}+n!\bigg )\bigg]_{0}^{+\infty} $.
Ora non resta che da fare la differenza tra i due limiti.

$ \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} -\bigg(\frac{1}{e}\bigg)^x\bigg(\sum_{i=0}^{n-1}i!\binom{n}{i}x^{n-i}+n!\bigg )=0 $ (Hopital)

$ \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}-\bigg(\frac{1}{e}\bigg)^x\bigg(\sum_{i=0}^{n-1}i!\binom{n}{i}x^{n-i}+n!\bigg )=-n! $

E segue la tesi.

EDIT: chi ha il potere, ha cancellato il doppio messaggio ma_go

[pic88]

Lol ma non basta integrare per parti una volta? Il primo pezzo fa 0 e l'altro fa n(n-1)!.

Tra l'altro questa è una delle prime proprietà della funzione Gamma

[stefanos]

Dimostrate anche questo:

Detta $ \displaystyle \Pi(x) := \Gamma(x + 1) = \int_0^\infty t^x e^{-t} dt $ (vale quindi $ \displaystyle \Pi(x) = x \Pi(x - 1) $), allora $ \displaystyle \Pi(x) = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^x n!}{(1 + x)(2 + x)\cdots(n + x)} $.

[stefanos]

Hint:

Giocate un po' con l'integrale \int_0^1 t^{x + s} (1 - t)^{n - s} dt

[stefanos]

Nessuno? Se continua cosi` domani scrivo la soluzione.

[Goldrake]

Nessuno? Se continua cosi` domani scrivo la soluzione.

Scusa, sarebbe norma aprire un altro topic. La discussione qui non mi pare si sia esaurita.

@Eucla:
non mi tornano gli ultimi passaggi, malgrado il risultato torni.
Non ho capito da dove esce il
$ $-n!$ $
tra parentesi, dopo la sommatoria.
E poi perché
$ $\bigg(-\frac{1}{e}\bigg)^x$ $
se all'inizio avevamo
$ $-e^{-x}$ $
Si comportano un po' diversamente, specialmente se x va a zero...

Lol ma non basta integrare per parti una volta? Il primo pezzo fa 0 e l'altro fa n(n-1)!.

Perdonami, ma adesso mi sfugge da dove prendo n(n-1)!

Spero di non aver detto sfondoni data l'ora.
Buonanotte!

[SkZ]

Non ho capito da dove esce il
$ $-n!$ $
tra parentesi, dopo la sommatoria.
E poi perché
$ $\bigg(-\frac{1}{e}\bigg)^x$ $
se all'inizio avevamo
$ $-e^{-x}$ $
Si comportano un po' diversamente, specialmente se x va a zero...

Direi specialmente se x e' non intero! (hai radice di un negativo)

Quell'integrale e' un classico da fare per parti
$ $\int_0^\infty x^ne^{-x} \textrm{d}x=\left.-x^ne^{-x}\right|_0^\infty+n\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x} \textrm{d}x$ $
a dx, il primo termine fa zero, il secondo e' il termine di partenza con esponenete ridotto di 1 e moltiplicato per l'esponente precedente, ergo
$ $\int_0^\infty x^ne^{-x} \textrm{d}x=n!\int_0^\infty x^0e^{-x} \textrm{d}x=n!$ $


Stefanos, aspetta almeno un paio di gg prima di postare la soluzione. dai il tempo agli altri di affrontare il problema.

[EUCLA]

tra parentesi, dopo la sommatoria.
E poi perché
$ $\bigg(-\frac{1}{e}\bigg)^x$ $
se all'inizio avevamo
$ $-e^{-x}$ $
Si comportano un po' diversamente, specialmente se x va a zero...

Effettivamente qualcosa che non torna c'è. Però non riesco a vedere cosa (mi sa che la fisica mi sta dando alla testa )
Sapresti come rimediarlo?

[Goldrake]

Penso che questo sia uno di quei casi in cui si è compiuto una quantità pari di errori, quindi il risultato ti è venuto ugualmente

A me viene
$ $\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}\textrm{d}x=-e^{-x}(x^n+nx^{n-1}+n(n+1)x^{n-2}+...+n!x+n!) $
Quindi facendo il limite a $ $+\infty$ $ ho zero, facendolo a zero ho -n!.

Quando tu dici "posso reiterare il procedimento" dovresti ottenere tutti termini con segno meno, non so perché dentro la tua parentesi compare quel -n! dopo la sommatoria, che quindi diventa positivo se vai a fare la moltiplicazione con $ $-e^{-x}$ $

Prova a dare un'aggiustatina dentro la parentesi e correggi la svista dell'esponenziale, poi fammi sapere se la mia forma è giusta, visto che spesso ho difficoltà a usare ragionamenti "iterati".

Ciao!

ps: Grazie a Skz, ho capito.

[stefanos]

@Goldrake: scusa, ora apro un altro topic.

@SkZ: ok

[pic88]

Lol ma non basta integrare per parti una volta? Il primo pezzo fa 0 e l'altro fa n(n-1)!.

Perdonami, ma adesso mi sfugge da dove prendo n(n-1)!

Ipotesi induttiva?

Prendiamo l'integrale di Eucla(-Riemann) e "definiamolo" tra 0 e infinito:
$ \displaystyle \int_0^{+\infty}{x^ne^{-x} \ dx}=[-x^ne^{-x}]_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty}{nx^{n-1}e^{-x} \ dx} = $
$ 0 + n\int_0^{+\infty}{x^{n-1}e^{-x} \ dx} = n(n-1)!=n! $.

[EUCLA]

Penso che questo sia uno di quei casi in cui si è compiuto una quantità pari di errori, quindi il risultato ti è venuto ugualmente

A me viene
$ $\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}\textrm{d}x=-e^{-x}(x^n+nx^{n-1}+n(n+1)x^{n-2}+...+n!x+n!) $
Quindi facendo il limite a $ $+\infty$ $ ho zero, facendolo a zero ho -n!.

Quando tu dici "posso reiterare il procedimento" dovresti ottenere tutti termini con segno meno, non so perché dentro la tua parentesi compare quel -n! dopo la sommatoria, che quindi diventa positivo se vai a fare la moltiplicazione con $ $-e^{-x}$ $

Prova a dare un'aggiustatina dentro la parentesi e correggi la svista dell'esponenziale, poi fammi sapere se la mia forma è giusta, visto che spesso ho difficoltà a usare ragionamenti "iterati".

Chiaro! Grazie, correggo subito .

Comunque, per l'esponenziale..l'errore è il meno che è rimasto dentro la parentesi, ma il resto ti torna, o no?

[Goldrake]

Ipotesi induttiva?

Si ok, a posto
Grazie.

.l'errore è il meno che è rimasto dentro la parentesi, ma il resto ti torna, o no?

Un'altra cosa: tu scrivi
$ -e^{-x}\displaystyle \bigg(\sum_{i=0}^{n}i!\binom{n}{i}x^{n-i}+n!\bigg ) $
Secondo me quel
$ $n!$ $
alla fine è di troppo, perché è già contenuto nella sommatoria. In particolare è l'ultimo addendo, quello che ottieni per
$ $i=n$ $
Quindi o togli n! o sennò fai arrivare la sommatoria fino a n-1.
Fatto ciò, ottieni l'espressione mia.

Ti torna?
Ciao.

[EUCLA]

Giusto mamma mia quante distrazioni