Generalizzazione del fattoriale, forme equivalenti

[stefanos]

Detta $ \displaystyle \Pi(x) := \Gamma(x + 1) = \int_0^\infty t^x e^{-t} dt $ (vale quindi $ \displaystyle \Pi(x) = x \Pi(x - 1) $), dimostrare che $ \displaystyle \Pi(x) = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^x n!}{(1 + x)(2 + x)\cdots(n + x)} $.

Hint 1:

Giocate un po' con l'integrale \int_0^1 t^{x + s} (1 - t)^{n - s} dt

Hint 2:

Integrate per parti l'integrale dell'hint 1. Detto J_s quell'integrale, cercate una relazione che coinvolga J_s e J_{s + 1}

Hint 3 (e` quasi finito):

Quanto vale J_0? e J_n? Come potete scrivere J_0, alternativamente? J_0 = J_0/J_1 * J_1/J_2 * ... *J_{n - 1}/J_n *J_n

A questo punto sistemate l'equazione e fate il limite.

[SkZ]

dimentichi che deve essere $ $x>0$ $, altrimenti $ $\Pi(n)\equiv 0\quad n\in\mathbb{N}$ $

[stefanos]

Mi sono dimenticato di precisare che $ \displaystyle n \in \mathbb{N} $ (lo davo per scontato, siccome $ \displaystyle n! $ e` definito solo per $ \displaystyle n \in \mathbb{N} $).

Comunque, la definizione e` valida per ogni valore di $ \displaystyle x $, anche negativo; non capisco come $ \displaystyle x \leqslant 0 $ implichi $ \displaystyle \Pi(x) \equiv 0 $ per $ \displaystyle x \in \mathbb{N} $, puoi spiegarmelo perfavore? Il limite di Gauss va a infinito per valori interi negativi di $ \displaystyle x $, ma questo non rende $ \displaystyle \Pi(x) \equiv 0 $ per $ \displaystyle x \in \mathbb{N} $..

[SkZ]

Vero, avevo sbagliato: dovevi precisare $ $\Pi(x)\quad x\in\mathbb{R} \land x> -1$ $

1) quella forma integrale di $ $\Gamma(z)$ $ e' definita per $ $z\in\mathbb{C} \land \Re(z)> 0$ $
Inoltre $ $\Gamma(x)$ $ diverge per gli interi non positivi, quindi vanno esclusi dal dominio

2)$ $\Pi(x) = x \Pi(x - 1)$ $ allora $ $\Pi(0) = 0 \Pi(0 - 1)=0$ $, ma per induzione $ $\Pi(n) =0\quad \forall n\in\mathbb{N}$ $
ma se $ $\Pi( - 1)$ $, non e' definita, allora non c'e' problema

non occorre precisare sempre $ $n\in\math{N}$ $, dato che generalmente $ $n,m,p\in\math{N}$ $ e $ $x,y,z\in\math{R}$ $,
anche se a essere puignoli (e la matematica lo e') e' sempre meglio precisare. Vi abituate per quando sarete all'univ

[stefanos]

A proposito del punto 2: $ \Pi(-1) $ diverge a infinito, quindi o tieni conto di questo, e allora $ 0 \cdot \Pi(-1) $ non e` una forma determinata (mi sbaglio?), o non definisci la funzione per gli interi negativi (non e` necessario, comunque), e pero` non puoi fare uso del termine $ \Pi(-1) $. Dimmi se mi sbaglio, non vorrei aver detto cose assurde!

Per quanto riguarda il punto 1, io avevo studiato che $ \Gamma(z) $ e` definita su tutti i complessi, e che l'integrale diverge per i complessi la cui parte reale e` negativa.

Comunque queste precisazioni non sono importanti per dimostrare l'uguaglianza delle due forme

[SkZ]

le forme indeterminate esistono solo per i limiti. Non abbiamo qualcosa molto vicino a zero, abbiamo proprio zero. QUALUNQUE numero moltiplicato per 0 da 0.

[stefanos]

Giusto, mi ero sbagliato.

[stefanos]

Questa notte ho ripensato alla questione.. Ho ricavato la formula $ \displaystyle \Pi(x) = x \Pi(x - 1) $ integrando per parti $ \displaystyle \Pi(x) = \int_0^\infty t^x e^{-t} dt $, e ho notato che per fare questo devo definire $ \displaystyle u = t^x $; chiaramente, il differenziale diventa $ \displaystyle du = x t^{x - 1} dt $, ma solo se $ \displaystyle x \neq 0 $, giusto? Altrimenti avrei $ \displaystyle u = 1 $ e non ci faccio molto (e` corretto?). Quindi la relazione non vale per $ \displaystyle x = 0 $.

Tuttavia, per calcolare $ \displaystyle \Pi(0) $, si ricorre alla definizione stessa: $ \displaystyle \Pi(0) = \int_0^\infty e^{-t} dt $, che e` $ \displaystyle -e^{-t}\vert_0^\infty = 1 $.

Spero che sia tutto corretto .. e aspetto che qualcuno scriva la dimostrazione !

[SkZ]

Come hai potuto appurare, la matematica e' essenzialmente precisione. Anche un piccolo sgarro puo' portare a conseguenze strane. I domini di esistenza sono sostanziali per tutto. Abituati a essere sempre molto preciso: ti sara' utile per le gare e poi per l'universita' (grazie alla pignoleria nel compito di anlisi 1 nello studio di funzione ho preso 9.5 su 9).
Cmq non ti preoccupare: almeno tu non hai urlato alla scoperta del secolo dicendo di aver risolto un'importante congettura (quasi tutti gli errori sono di precisione).

[SkZ]

Sei sicuro che nel primo hint i segni di s siano giusti? Dovrebbero essere concordi se non sbaglio (almeno se concordi abbiamo una simil funzione Beta)

[stefanos]

No, quella non e` la funzione $ \beta $, per quanto ci assomigli . Comunque, hai dimostrato l'equivalenza delle due forme? Se e` possibile, allora non ho sbagliato i segni

[stefanos]

Nessuno ha scritto una dimostrazione =/ : la scrivo io, sperando di non rovinare la risoluzione a nessuno!

Definiamo $ \displaystyle J_s(x) = \int_0^1 t^{x + s} (1 - t)^{n - s} dt $. Calcoliamo intanto $ \displaystyle J_n(x) = \int_0^1 t^{x + n} dt = \frac{1}{x + n + 1} $.

Integriamo per parti $ \displaystyle J_s $: siano $ \displaystyle u = (1 - t)^{n - s} $, $ \displaystyle dv = t^{x + s} dt $, e quindi $ \displaystyle du = -(n - s)(1 - t)^{n - s - 1} dt $ e $ \displaystyle v = \frac{t^{x + s + 1}}{x + s + 1} $; sostituendo, otteniamo, dopo qualche passaggio, che $ \displaystyle J_s(x) = \frac{n - s}{x + s + 1} \cdot J_{s + 1}(x) $, cioe` $ \displaystyle \frac{J_s(x)}{J_{s + 1}(x)} = \frac{n - s}{x + s + 1} $.

Scriviamo $ \displaystyle J_0(x) = \frac{J_0}{J_1}\cdot\frac{J_1}{J_2}\cdots\frac{J_{n - 1}}{J_n} \cdot J_n $: ora, il LHS e` uguale a $ \displaystyle \int_0^1 t^x (1 - t)^n dt $, e il RHS e` uguale a $ \displaystyle \frac{n}{x + 1}\cdot\frac{n - 1}{x + 2}\cdots\frac{1}{x + n} \cdot J_n = \frac{n!}{(x + 1)_n} \cdot \frac{1}{x + n + 1} $, dove abbiamo sostituito $ \displaystyle J_n $ con il valore trovato precedentemente, e $ \displaystyle (x)_n = x(x + 1)\cdots(x + n - 1) $ e` il simbolo di Pochhammer (solo per essere piu` sintetico). Uguagliando i due membri e moltiplicando per $ \displaystyle x + n + 1 $, abbiamo che $ \displaystyle (x + n + 1) \int_0^1 t^x (1 - t)^n dt = \frac{n!}{(x + 1)_n} $.

Adesso cambiamo variabile di integrazione: poniamo $ \displaystyle t = \frac{u}{n} $, e quindi $ \displaystyle dt = \frac{du}{n} $; gli estremi di integrazione diventano: per $ \displaystyle t = 0, u = 0 $, e per $ \displaystyle t = 1, u = n $. Quindi: $ \displaystyle (x + n + 1) \int_0^n \frac{u^x}{n^x} \left(1 - \frac{u}{n}\right)^n \frac{1}{n} du = \frac{n!}{(x + 1)_n} $. Adesso moltiplichiamo per $ \displaystyle n^x $ e portiamo fuori $ \displaystyle \frac{1}{n} $: $ \displaystyle \frac{x + n + 1}{n} \int_0^n u^x \left(1 - \frac{u}{n}\right)^n du = \frac{n^x n!}{(x + 1)_n} $.

Per concludere, prendiamo il limite per $ \displaystyle n \to \infty $. Notiamo che dentro l'integrale $ \displaystyle \left(1 - \frac{u}{n}\right)^n = \left(1 - \frac{u}{n}\right)^{-\frac{n}{u} \cdot (-u)} $, e allora quando facciamo tendere $ \displaystyle n $ a infinito diventa $ \displaystyle e^{-u} $. Dunque abbiamo $ \displaystyle \int_0^\infty u^x e^{-u} du = \lim_{n \to \infty} \frac{n^x n!}{(x + 1)_n} = \Pi(x) $, e la dimostrazione e` conclusa.