Sottoinsiemi propri

[jordan]

Sia $ P $ l'insieme dei primi della forma $ 4k+1, k \in \mathbb{N} $.
Sia $ S $ l'insieme dei numeri della forma $ a^2+b^2, (a,b) \in (\mathbb{Z})^2 $.

Mostrare che $ P $ è un sottoinsieme proprio di $ S $

[alessio]

Si può usare come ipotesi che Z è un dominio euclideo?

[Ani-sama]

Si tratta, per la cronaca, di un risultato abbastanza noto dovuto a Fermat (c'è anche sull'Herstein, volendo). Senza usare barocchismi formalistici, si può anche enunciare molto più semplicemente come: Se $ p $ è un numero primo tale che $ p \equiv 1 \pmod 4 $, allora $ p=a^2+b^2 $ per qualche $ a,b \in \mathbb{Z} $. Più "intuitivamente" ancora, ogni numero primo congruo a 1 modulo 4 si può esprimere come somma di due quadrati (di numeri interi).

Poi, Jordan, il fatto che l'inclusione che dici sia stretta mi sembra così lapalissiano da poter essere omesso senza problemi.

[jordan]

Si tratta, per la cronaca, di un risultato abbastanza noto dovuto a Fermat (c'è anche sull'Herstein, volendo). Senza usare barocchismi formalistici, si può anche enunciare molto più semplicemente come: Se $ p $ è un numero primo tale che $ p \equiv 1 \pmod 4 $, allora $ p=a^2+b^2 $ per qualche $ a,b \in \mathbb{Z} $. Più "intuitivamente" ancora, ogni numero primo congruo a 1 modulo 4 si può esprimere come somma di due quadrati (di numeri interi).

Poi, Jordan, il fatto che l'inclusione che dici sia stretta mi sembra così lapalissiano da poter essere omesso senza problemi.

Che sia noto non lo metto in dubbio, ma c'è qualche problema nel modo in cui posto i problemi? [...]