Mi gira la testa!

[salva90]

Sia dato un triangolo $ ~A_1A_2A_3 $ e un punto $ ~P_1 $ del piano.

Si consideri $ A_{k}=A_{k-3} $ per $ ~k>3 $.

Per ogni $ ~i $, sia $ ~P_{i+1} $ il punto del piano tale che $ ~\angle P_{i+1}A_{i}P_i=120° $ e $ A_iP_i=A_iP_{i+1} $ (nb: gli angoli sono da considerarsi orientati).

Sapendo che $ ~P_{2008}\equiv P_1 $, provare che $ ~A_1A_2A_3 $ è equilatero.


ps: ho una soluzione, che è istruttiva e spero emerga (magari dalle nuove leve e non dai vecchiacci).
sono però notevolmente interessato alla soluzione sintetica, invito quindi a provare il problema anche se viene già risolto usando metodi non sintetici

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

sicuro che la tesi è vera? 2008 non è multiplo di 3.

[Tibor Gallai]

Per ogni $ ~i $, sia $ ~P_{i+1} $ il punto del piano tale che $ ~\angle P_{i+1}A_{i}P_i=120° $

[Tibor Gallai]

sicuro che la tesi è vera? 2008 non è multiplo di 3.

Però 2008-1 è multiplo di 3.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

lol hai ragione, ero convinto che partisse da $ P_0 $ come quello delle IMO dell' 86

[salva90]

Per ogni $ ~i $, sia $ ~P_{i+1} $ il punto del piano tale che $ ~\angle P_{i+1}A_{i}P_i=120° $

appunto per quello ho scritto che gli angoli vanno considerati orientati: una volta che lo prendiamo in uno dei versi possibili, dobbiamo prendere sempre in quel verso

[Tibor Gallai]

appunto per quello ho scritto che gli angoli vanno considerati orientati: una volta che lo prendiamo in uno dei versi possibili, dobbiamo prendere sempre in quel verso

Infatti quella era un'ambiguità minore (visto che è comunque un'ambiguità, perché le cose cambiano, e di molto, a seconda che il verso sia concorde o discorde con l'orientazione dei vertici del triangolo).
L'ambiguità macroscopica è che ci sono sempre un'infinità di scelte per $ P_{i+1} $, ma immagino tu voglia $ A_iP_{i+1}=A_iP_i $.

[salva90]

mi ero completamente scordato quel pezzo chiedo scusa a chi avesse invano cercato di capire il testo

per chiarire definitivamente ogni ambiguità, diciamo che otteniamo $ ~P_{i+1} $ da una rotazione di 120° in senso antiorario di $ ~P_i $ rispetto ad $ ~A_i $

ora dovrebbe essere tutto chiaro...

scusate ancora

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

la composizione di 3 rotazioni di 120° è una traslazione da cui P_1=P_{1+3k}...