equazione dalla SNS

[matteo16]

per $ a,b,c $ appartenenti a $ Q $ si ha tale equazione:
$ a^3+2b^3+4c^3=8abc $
bisogna dimostrare che l'unica soluzione è $ a=b=c=0 $
si può scrivere: a>b>c. ciò non influenza la ricerca di soluzioni.
quindi $ a=kb, b=hc, ne segue che a=khc $
sostituendo nell'equazione si ha che:
$ k^3h^3c^3+2h^3c^3+4c^3=8kh^2c^3 $
da cui
$ k^3h^3+2h^3+4=8kh^2 $
raccolgo $ h^3 $ da un membro e dall'altro raccolgo$ 4 $
viene:

$ h^3(k^3+2)=4(2kh^2-1) $

quindi o $ h^3=4 $

o $ k^3+2=4 $

da cui si vede che 4 e 2 devono essere cubi perfetti, il che non è vero
quindi in \Q non vi sono soluzioni tranne la soluzione banale $ a=b=c=0 $

ditemi se il ragionamento potrebbe essere giusto.


EDIT: mannaggia, non riesco ancora ad usare pienamente LaTeX

[EUCLA]

Perchè si può supporre $ a>b>c $?

[matteo16]

Perchè si può supporre $ a>b>c $?

mmm già... ho scritto una cazzata... ... ...
però si può comunque supporre, visto che siamo in $ Q $
che $ a $ sia $ kb $ e che $ b $ sia $ hc $ per ogni $ k,h $ appartenenti a $ Q $
ne segue che $ a=khc $

effettivamente la relazione d'ordine non c'entra niente, anzi sarebbe da dimostrare, se fosse vera.

[matteo16]

fede90, anche io avevo pensato alla discesa infinita, ma mi aveva frenato il fatto che a,b,c devono appartenere a Q non a Z e quindi non si può parlare di pari o dispari

[salva90]

Ma se noi scrivessimo a, b c come frazioni e moltiplicassimo tutto non otterremo roba da risolvere negli interi?

[fede90]

fede90, anche io avevo pensato alla discesa infinita, ma mi aveva frenato il fatto che a,b,c devono appartenere a Q non a Z e quindi non si può parlare di pari o dispari

Infatti il mio messaggio non è durato piu di 30 secondi l'ho eliminato subito dopo avere letto Q... cmq salva90 ha ragione

Ponendo a=m/n, b=p/q, c=r/s, e moltiplicando poi il tutto per (nqs)^3 otteniamo $ $(mqs)^3+2(nps)^2+4(nqr)^3=8 (mqs)(nps)(nqr)$ $ e il gioco è fatto!