Algebra da Febbraio 2004 (triennio)

[Fedecart]

Per quanti valori interi di $ a $ l'equazione

$ x^3 + (a-4)x^2 + (a+4)x + 9 = 0 $

ha esattamente due soluzioni intere distinte?

L'ho postato perchè ci ho provato per un paio d'ore e niente...

[mod_2]

Piccolo ripasso di teoria

Un' equazione di terzo grado si presenta in questa forma

$ $a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0$ $

Ovviamente gli $ $a_i$ $ sono i coefficienti

Siano $ $x_1,~x_2,~x_3$ $ le 3 soluzioni, allora avremo

1) $ $P=x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = - \frac{a_0}{a_3}$ $

2) $ $S=x_1+x_2+x_3=- \frac{a_2}{a_3}$ $

3) $ $Q=x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{a_1}{a_3}$ $

Se abbiamo un polinomio monico allora:

$ $x^3-Sx^2+Qx-P=0$ $

Per prima cosa puoi cercare di dimostrare che le tre soluzioni devono essere tutti interi

Sfruttare il primo punto

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

$ x^3 + (a-4)x^2 + (a+4)x + 9 = (x+1)(x^2+(a-5)x+9) $ da cui o $ x^2+(a-5)x+9 $ ha due soluzioni intere coincidento o una soluzione di $ x^2+(a-5)x+9 $ è -1, da cui si trovano 3 soluzioni

[mod_2]

$ x^3 + (a-4)x^2 + (a+4)x + 9 = (x+1)(x^2+(a-5)x+9) $ da cui o $ x^2+(a-5)x+9 $ ha due soluzioni intere coincidento o una soluzione di $ x^2+(a-5)x+9 $ è -1, da cui si trovano 3 soluzioni

Azz... a questo non ci avevo pensato, la mia è diversa (alla fine è praticamente TdN).

[String]

Azz... a questo non ci avevo pensato

Meglio!! Ciò che hai scritto non lo sapevo

[Fedecart]

Piccolo ripasso di teoria

Un' equazione di terzo grado si presenta in questa forma

$ $a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0$ $

Ovviamente gli $ $a_i$ $ sono i coefficienti

Siano $ $x_1,~x_2,~x_3$ $ le 3 soluzioni, allora avremo

1) $ $P=x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = - \frac{a_0}{a_3}$ $

2) $ $S=x_1+x_2+x_3=- \frac{a_2}{a_3}$ $

3) $ $Q=x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{a_1}{a_3}$ $

Se abbiamo un polinomio monico allora:

$ $x^3-Sx^2+Qx-P=0$ $

Belli questi ripassi di teoria... Sono quelli che ti fanno imparare a fare i problemi! Ne servirebbero di più qui sul forum!

[Bellaz]

$ x^3 + (a-4)x^2 + (a+4)x + 9 = (x+1)(x^2+(a-5)x+9) $ da cui o $ x^2+(a-5)x+9 $ ha due soluzioni intere coincidento o una soluzione di $ x^2+(a-5)x+9 $ è -1, da cui si trovano 3 soluzioni

Non ho capito l'ultimo passo... Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmelo??

[Bellaz]

$ x^3 + (a-4)x^2 + (a+4)x + 9 = (x+1)(x^2+(a-5)x+9) $ da cui o $ x^2+(a-5)x+9 $ ha due soluzioni intere coincidento o una soluzione di $ x^2+(a-5)x+9 $ è -1, da cui si trovano 3 soluzioni

Non ho capito l'ultimo passo... Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmelo??

Credo di aver capito... Io sono arrivato a $ (x+1)[x^2+(a-5)x+9]=0 $.. Da qui sicuramente una soluzione è x=-1, quindi per avere due soluzioni o $ x^2+(a-5)x+9 $ ha due soluzioni coincidenti o una delle sue soluzioni è x=-1... Quindi nel primo caso c'è un valore di a, mentre nel secondo ce ne sono 2 (di cui uno è sicuramente a=15)... Ho capito bene la parte finale della soluzione di Gabriel??

[String]

si

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

è il contrario, nel primo caso hai 2 soluzioni nel secondo 1: $ \Delta = 0 $ è una eq di 2° che da $ a=-1 $ e $ a=11 $ la seconda da $ a=15 $

[mod_2]

Ok, metto quella soluzione diversa che dicevo

Per la 2) abbiamo che $ $4-a=S$ $.

Sappiamo già che due soluzioni e la $ $a$ $sono intere e la quindi anche la terza soluzione è intera.

Per la 1) sappiamo il prodotto di queste 3 soluzioni (di cui 2 devono essere uguali) è uguale -9.
Un pò di casi a mano e si trova che queste ipotetiche terne di soluzioni non sono tante:
1, 1, -9
-1, -1, -9
-1, 3, 3
-1, -3, -3

Per ciò che ha detto ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ sappiamo che -1 è soluzione e quindi la prima terna è da scartare. Del resto i polinomi costruiti con le 3 terne di soluzioni rimaste soddisfano l'ipotesi.

[Bellaz]

è il contrario, nel primo caso hai 2 soluzioni nel secondo 1: $ \Delta = 0 $ è una eq di 2° che da $ a=-1 $ e $ a=11 $ la seconda da $ a=15 $

Ah, è vero... che stupido che sono...

[bestiedda]

senza tirare fuori formule (che non conoscevo, grazie!)

un polinomio del tipo $ $x^3+Ax^2+Bx+C $ si può scomporre come $ $(x-a')(x-b)(x-c) $ dove $ $a',b,c $sono le radici del polinomio. Poichè il problema dice che ci devono essere due soluzioni intere distinte, allora due radici devono essere coincidenti. Poniamo $ $a'=c $ e riscriviamo come $ $(x-b)(x-c)(x-c) $ . Svolgiamo i prodotti ottenendo $ $x^3+(-2c-b)x^2 + (c^2+2bc)x -bc^2 $ e notiamo che il termine noto è uguale a $ $-bc^2 $ . Dunque $ $-bc^2=9 $ , da cui che esistono solo 3 coppie $ $(b,c) $ che soddisfano l'equazione: sono $ $(-1,3)(-9,1)(-9,-1) $ . Sostituendo i valori nell'equazione precedente ed eguagliando i coefficienti a quelli in funzione di $ $a $ si ottengono i 3 valori di $ $a $