Giochi con le carte da Febbraio

[Fedecart]

Posto un altro esercizio di livello Febbraio

Qattro ragazzi giocano a carte con un mazzo da 40, e le distribiscono tutte, 10 a testa, a caso. Il primo ragazzo dice "Che strano non ho nemmeno una carta di picche". Data questa informazione qual'è la probailità che anche il secondo ragazzo non abbia nessuna carta di picche? (Si assume che le carte di picche siano 10 in un mazzo da 40)

Se siete al di sopra di questo livello non rispondete per piacere, così anche quelli meno bravi si esercitano!

[String]

C'è solo un caso favorevole per cui il secondo giocatore non riceva nessuna carta di picche. I casi possibili invece dovrebbero essere $ \displaystyle {30\choose 10} $ quindi la probabilità dovrebbe essere $ \displaystyle \frac {1}{\displaystyle {30\choose 10}} $
Scusatemi se ho detto mostruosità Sono ancora agli inizi, quindi non esitate a correggermi!

[elendil]

Anch'io sono un po' alle prime armi comunque direi che se i casi possibili sono anche secondo me 30 su 10 credo che quelli favorevoli non siano 1 ma 20 su 10. (scusatemi ma il latex acora non lo mastico bene )

[String]

Già, è vero...

[matteo16]

siccome sto imparando, potrei aver detto una grandissima cavolata.

inizialmente la probabilità che tutti abbiano delle carte di picche dovrebbe essere $ \frac {10} {40\choose 10}. $
la probabilità che il giocatore 1 non ce l'abbia è $ \frac {30} {40\choose 10}. $
l'ho vista come una probabilità condizionata. cioè:
che probabilità c'è che, non avendo il primo giocatore alcuna carta di picche, il secondo giocatore non abbia alcuna carta di picche(scusate le ridondanze)?
la probabilità che il secondo non ce l'abbia sono $ \frac {20} {40 \ choose 10}. $
quindi la probabilità che, non avendole il rpimo, non ce le abbia neanche il secondo sono:$ \frac {30} {40 \ choose 10} \cdot{\frac {20} {40\choose 10} $=$ \frac {60} {40\choose 10}^2 $
mi dite dove sbaglio così che possa capire? forse nel considerarla come probabilità condizionata?

[matteo16]

scusate per latex non so come scriverlo
sarebbe 40 su 10

[ico1989]

L'ho intesa come probabilità condizionata: $ P(B | A) $, con notazione ovvia.
E l'ho calcolata come $ \displaystyle P(B | A) = \frac {\displaystyle {20\choose 10}}{\displaystyle {30\choose 10}} $, dando ovviamente come ipotesi che il primo giocatore dica la verità , come la traccia richiede (almeno penso).

La probabilità che accadano insieme i due eventi (cosa non richiesta dalla traccia!) è invece:
$ P(A \cap B) = P(B | A) \times P(A) = \displaystyle \frac {\displaystyle {20\choose 10}}{\displaystyle {30\choose 10}} \times \frac {\displaystyle {30\choose 10}}{\displaystyle {40\choose 10}} = \frac {\displaystyle {20\choose 10}}{\displaystyle {40\choose 10}} $.
Ho sbagliato qualcosa?

[matteo16]

L'ho intesa come probabilità condizionata: $ P(B | A) $, con notazione ovvia.
E l'ho calcolata come $ \displaystyle P(B | A) = \frac {\displaystyle {20\choose 10}}{\displaystyle {30\choose 10}} $, dando ovviamente come ipotesi che il primo giocatore dica la verità , come la traccia richiede (almeno penso).

La probabilità che accadano insieme i due eventi (cosa non richiesta dalla traccia!) è invece:
$ P(A \cap B) = P(B | A) \times P(A) = \displaystyle \frac {\displaystyle {20\choose 10}}{\displaystyle {30\choose 10}} \times \frac {\displaystyle {30\choose 10}}{\displaystyle {40\choose 10}} = \frac {\displaystyle {20\choose 10}}{\displaystyle {40\choose 10}} $.
Ho sbagliato qualcosa?

mi potresti spiegare il ragionamento che hai fatto?
così imparo

[String]

la probabilità che il giocatore 1 non ce l'abbia è $ \displaystyle \frac {30}{\displaystyle {40\choose 10}} $

I casi favorevoli non sono 30 ma $ \displaystyle {30\choose 10} $. Quindi la probabilità è $ \displaystyle \frac {\displaystyle {30\choose 10}}{\displaystyle {40\choose 10}} $

la probabilità che il secondo non ce l'abbia sono $ \displaystyle \frac {20}{\displaystyle {40\choose 10}} $

La stessa cosa di prima: i casi favorevoli sono $ \displaystyle {20\choose 10} $ e non $ 20 $. Inoltre sapendo che il primo giocatore non ha nessuna carta di picche, i casi possibili per il secondo giocatore si restringono a $ \displaystyle {30\choose 10} $ Quindi la probabilità è $ \displaystyle \frac {\displaystyle {20\choose 10}}{\displaystyle {30\choose 10}} $.
Se poi vuoi che i due eventi si verifichino insieme allora basta moltiplicare questi due risultati come avevi fatto e come ha fatto anche ico1989.
Spero di non aver detto cavolate...

[matteo16]

la probabilità che il giocatore 1 non ce l'abbia è $ \displaystyle \frac {30}{\displaystyle {40\choose 10}} $

I casi favorevoli non sono 30 ma $ \displaystyle {30\choose 10} $. Quindi la probabilità è $ \displaystyle \frac {\displaystyle {30\choose 10}}{\displaystyle {40\choose 10}} $

la probabilità che il secondo non ce l'abbia sono $ \displaystyle \frac {20}{\displaystyle {40\choose 10}} $

La stessa cosa di prima: i casi favorevoli sono $ \displaystyle {20\choose 10} $ e non $ 20 $. Inoltre sapendo che il primo giocatore non ha nessuna carta di picche, i casi possibili per il secondo giocatore si restringono a $ \displaystyle {30\choose 10} $ Quindi la probabilità è $ \displaystyle \frac {\displaystyle {20\choose 10}}{\displaystyle {30\choose 10}} $.
Se poi vuoi che i due eventi si verifichino insieme allora basta moltiplicare questi due risultati come avevi fatto e come ha fatto anche ico1989.
Spero di non aver detto cavolate...

ma come mai anche al numeratore c'è il binomiale?
però per il resto ho capito il ragionamento. grazie

[String]

Prendiamo ad esempio il primo giocatore: questo non deve avere nessuna carta di picche. Ci sono quindi a nostra dispozione 30 carte che soddisfano questa condizione (perchè le altre 10 sono di picche). Ogni giocatore deve avere però 10 carte. Quindi, è come se dobbiamo rispondere alla domanda: date 30 carte, in quanti modi ne posso sceglierne 10? Evidentemente questi saranno
$ 30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21 $. Ma poichè è indifferente l'ordine in cui sono date le carte allora dividiamo il tutto per $ 10! $ cosicchè i modi diventano

$ $ \frac {30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21}{10!} $ che non è altro che $ $ {30\choose 10} $. Questo quindi dovrebbe essere il numero dei casi favorevoli...

[Bellaz]

Scusate ma perchè i casi favorevoli sono $ \displaystyle {20\choose 10} $??

[String]

Se anche il secondo giocatore non deve avere picche, dalle 40 carte totali dobbiamo toglierne 20 perchè 10 sono di picche e 10 sono già state date al primo giocatore...

[matteo16]

Prendiamo ad esempio il primo giocatore: questo non deve avere nessuna carta di picche. Ci sono quindi a nostra dispozione 30 carte che soddisfano questa condizione (perchè le altre 10 sono di picche). Ogni giocatore deve avere però 10 carte. Quindi, è come se dobbiamo rispondere alla domanda: date 30 carte, in quanti modi ne posso sceglierne 10? Evidentemente questi saranno
$ 30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21 $. Ma poichè è indifferente l'ordine in cui sono date le carte allora dividiamo il tutto per $ 10! $ cosicchè i modi diventano

$ $ \frac {30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21}{10!} $ che non è altro che $ $ {30\choose 10} $. Questo quindi dovrebbe essere il numero dei casi favorevoli...

ah ok grazie mille per la spiegazione