p|a^2+ab+b^2

[Il_Russo]

Comunque a questo punto, qualcuno dimostri che esistono infiniti primi della forma 3k+1, e infiniti della forma 3k+2!

Dai, edriv, lo sappiamo tutti che è un fatto noto.
In realtà conosco l'idea generale però adesso non ho voglia di adattarla a questo caso particolare, anche se posso dire in giro che è per lasciar lavorare gli altri che ancora non conoscono la soluzione

[FrancescoVeneziano]

Un'altra possibile soluzione:
Come osservato da Giove devo dimostrare che $ k^2+k+1\equiv 0 \mod p $ non ha soluzioni, cioè che (supponendo p diverso da 2) il discriminante, che è -3, non è un quadrato modulo p.
A questo punto per la reciprocità quadratica avete che $ \binom{-3}{p}=\binom {p}{3}=\binom{2}{3}=-1 $ che è quanto ci serviva.

[bestiedda]

propongo una soluzione che non so quanto possa essere giusta.

poniamo $ $a=kp+r $ e $ $b=hp+m $ : per dimostrare la tesi dobbiamo dimostrare che $ $r $ed $ $m $devono necessariamente essere uguali a 0 o devono essere dei multipli di $ $p $. Partiamo considerando $ $r $ed $ $m $non multipli di $ $p $(compreso lo 0) : sostituendo i valori otteniamo che $ $p|(kp+r)^2 +(kp+r)(hp+m)+(hp+m)^2 $ , ovvero $ $p|k^2p^2+r^2+2kpr+khp^2+mkp+rhp+rm+h^2p^2+m^2+2hpm $ . Eliminiamo da destra tutti gli addendi contenenti il fattore $ $p $e otteniamo che $ $p|r^2+mr+m^2 $ . Siamo tornati alla situazione di partenza, ed è ovvio che se ripetiamo il procedimento come in precedenza otterremo una situazione identica. Non è possibile ripetere all'infinito questo passaggio in quanto otterremmo delle variabili infinitamente piccole, mentre sappiamo che queste variabili sono naturali: dunque $ $r $ed $ $m $devono essere necessariamente multipli di $ $p $, e di conseguenza anche $ $a $e $ $b $

secondo voi può andare??

EDIT: ha ragione TBPL me ne sono appena accorto

[TBPL]

La discesa "infinita" si blocca quando $ h $ e/o $ k $ diventano uguali a 0, quindi non funziona (ed è praticamente quello che ha fatto stefanos..)

[SkZ]

Comunque a questo punto, qualcuno dimostri che esistono infiniti primi della forma 3k+1, e infiniti della forma 3k+2!

btw, esistono forme $ $ax+b$ $ con $ $(a,b)=1$ $ che non producano infiniti primi?

[eli9o]

@Skz: mi sembra che il teorema di Dirichlet affermi proprio che se $ (a,b)=1 $ allora esistono infiniti primi della forma $ ax+b $

Dato che tutto ciò è colpa mia provo a dare il mio contributo dimostrando che esistono infiniti primi della forma $ 3k+2 $. L'altra non la so ma mi piacerebbe vederla.

Supponiamo per assurdo che i primi della forma $ 3k+2 $ siano finiti. A questo punto indichiamo con $ p_1,p_2,...,p_k $ tali primi. Sia ora $ \displaystyle P=\prod_{i=1}^{k}p_i $. Ora consideriamo il fatto che $ 3P-1\equiv2 \pmod 3 $. Quindi, se tutti i primi divisori di $ 3P-1 $ fossero della forma $ 3k+1 $ allora lo stesso $ 3P-1 $ sarebbe di tale forma: assurdo. Quindi in $ 3P-1 $ dev'esserci un primo della forma $ 3k+2 $ ma questo non può appartenere appartenere ai fattori di $ P $ in quanto $ (3P-1,P)=1 \Rightarrow (3P-1,p_i)=1 $ $ \forall i |1 \leq i \leq k $. Quindi questo è un nuovo primo della forma $ 3k+2 $: assurdo.