Ri-posto sul forum perchè ho la sfortuna di avere esercizi, ma non le soluzioni e non so come verificare le mie...
Partita al gioco dei pacchi... Ogni partita ha un prezzo di ingresso di 35 euri.
Ci sono 4 pacchi che contengono 10, 20, 30, 40 euri.
Un giocatore non sa il contenuto del pacco che ha. Lo può aprire e, visto il contenuto, può decidere se tenerselo e finire il gioco, oppure scartarlo e aprire il successivo.
Può nuovamente fare lo stesso procedimento, ma solo fino al terzo pacco: infatti se apre il terzo pacco è costretto a tenersi quello che c'è dentro.
Due pirla che passano di lì decidono di giocare attuando due strategie diverse.
Il primo: se posso aprire tre pacchi, prima o poi quello da 30 o da 40 lo trovo. Il primo che esce fra i due me lo tengo.
Il secondo: se pesco quello da 40 me lo tengo, altrimenti prendo il contenuto del terzo pacco che apro.
Qual è alla lunga la miglior strategia?
Quale strategia scegliereste voi?
Simpatico gioco di probabilità-strategia
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quicktimeplayers
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quicktimeplayers
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Io l'ho fatto così:
considero la prima strategia. In ogni caso si prenderà o il pacco da 30 o da 40. Quest'ultimo si può prendere solo se viene prima del 30. Quindi se il 40 è il primo pacco, il 30 può essere uno qualsiasi degli altri tre pacchi e disporsi con gli altri in $ 3! $ modi diversi. Se invece il 40 è il secondo pacco ci sono solo $ 4 $ modi in cui gli altri pacchi si possono disporre affinchè il 30 sia il terzo o il quarto. Infine, se il 40 è il terzo pacco allora le possibilità che l'ultimo sia il 30 sono $ 2 $. Quindi i casi favorevoli sono $ 3!+4+2=12 $ mentri i casi possibili sono $ 4!=24 $ perciò la probabililtà che il giocatore si prenda il 40 è $ $ \frac {12}{24}=\frac {1}{2} $
Considero ora la seconda strategia: la probabilità che il giocatore vinca il pacco da 40 è $ $ \frac {3}{4} $, mentre le probabilità che vinca il pacco da 10, da 20 o da 30 sono tutte $ $ \frac{1}{12} $.
A questo punto considerando che per ogni partita si spendono 35 euro confronto le due strategie: su 12 giocate utilizzando la prima strategia si ha $ 6\cdot 5-6\cdot 5=0 $ e quindi non si vince nè si perde niente. Adoperando la seconda strategia invece si ha $ 9\cdot 5-25-15-5=0 $. Quindi sembrerebbe che le due strategie siano equivalenti...
Secondo voi può essere giusto?
considero la prima strategia. In ogni caso si prenderà o il pacco da 30 o da 40. Quest'ultimo si può prendere solo se viene prima del 30. Quindi se il 40 è il primo pacco, il 30 può essere uno qualsiasi degli altri tre pacchi e disporsi con gli altri in $ 3! $ modi diversi. Se invece il 40 è il secondo pacco ci sono solo $ 4 $ modi in cui gli altri pacchi si possono disporre affinchè il 30 sia il terzo o il quarto. Infine, se il 40 è il terzo pacco allora le possibilità che l'ultimo sia il 30 sono $ 2 $. Quindi i casi favorevoli sono $ 3!+4+2=12 $ mentri i casi possibili sono $ 4!=24 $ perciò la probabililtà che il giocatore si prenda il 40 è $ $ \frac {12}{24}=\frac {1}{2} $
Considero ora la seconda strategia: la probabilità che il giocatore vinca il pacco da 40 è $ $ \frac {3}{4} $, mentre le probabilità che vinca il pacco da 10, da 20 o da 30 sono tutte $ $ \frac{1}{12} $.
A questo punto considerando che per ogni partita si spendono 35 euro confronto le due strategie: su 12 giocate utilizzando la prima strategia si ha $ 6\cdot 5-6\cdot 5=0 $ e quindi non si vince nè si perde niente. Adoperando la seconda strategia invece si ha $ 9\cdot 5-25-15-5=0 $. Quindi sembrerebbe che le due strategie siano equivalenti...
Secondo voi può essere giusto?
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
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quicktimeplayers
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Sì, è giusto...
Però si può vedere che sono strategie neutre senza dover considerarle alla lunga...
Infatti si può considerare le speranze matematiche delle due strategie e si vede che sono entrambe di 35 euro... E' più immediata da vedere secondo me...
Inoltre non credo che ci siano strategie migliori...
Però si può vedere che sono strategie neutre senza dover considerarle alla lunga...
Infatti si può considerare le speranze matematiche delle due strategie e si vede che sono entrambe di 35 euro... E' più immediata da vedere secondo me...
Inoltre non credo che ci siano strategie migliori...
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quicktimeplayers
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Anche noi lo sappiamo ormai questo...quicktimeplayers ha scritto:Sì, ma questo lo sapevo già...AndBand89 ha scritto:Questo era un problema di ammissione al Sant'Anna dell'anno scorso
Se il primo pacco è quello da 20 e il secondo è quello da 30 conviene tenerselo perchè (10+40)/2<30. Con questa modifica il gioco diventa vincente.
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quicktimeplayers
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Pardon...PubTusi ha scritto:Anche noi lo sappiamo ormai questo...quicktimeplayers ha scritto:Sì, ma questo lo sapevo già...AndBand89 ha scritto:Questo era un problema di ammissione al Sant'Anna dell'anno scorso
Non so come sia successo che sia comparso scritto una seconda volta... Boh...
Comunque se puoi spiegarmi meglio la strategia perchè non l'ho capita...
grazie
Si scusa
Intendevo dire di utilizzare la seconda strategia, cioè quella di fermarsi solo quando si trova il pacco da 40, tranne nel caso in cui il primo pacco è quello da 20 e il secondo quello da 30. Non posto i conti per pigrizia, ma così il guadagno teorico medio diventa leggermente maggiore di 35
Intendevo dire di utilizzare la seconda strategia, cioè quella di fermarsi solo quando si trova il pacco da 40, tranne nel caso in cui il primo pacco è quello da 20 e il secondo quello da 30. Non posto i conti per pigrizia, ma così il guadagno teorico medio diventa leggermente maggiore di 35