ho avuto un'idea....e speriamo che sia la volta buona.
chiamiamo $ $x_n $ i numeri $ $x $ di $ $n $ cifre scelte in $ $S=\{1,6,8,9\} $ :ho $ $4^n $ numeri $ $x_n $: $ $a_n $ di questi sono $ $\equiv1(mod3) $ , $ $b_n $ di questi sono $ $\equiv2(mod3) $ , $ $c_n $ di questi sono $ $\equiv0(mod3) $ . Ovviamente $ $a_n+b_n+c_n=4^n $ . Ora io voglio trovare gli $ $a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1} $ , ovvero il numero di $ $x_{n+1} $ rispettivamente congrui a 1, a 2 e a 0 mod 3. Per conoscere $ $a_{n+1} $ , consideriamo in quanti modi si può costruire un numero $ $x_{n+1}\equiv1(mod3) $ a partire dalle prime $ $n $ cifre da destra, ovvero a partire da tutti gli $ $x_n $: se $ $x_n \equiv 1(mod3) $ abbiamo 2 possibilità (6 e 9) per scegliere l'ultima cifra, se $ $x_n \equiv 2(mod3) $ abbiamo 1 possibilità (8 ) per scegliere l'ultima cifra , se $ $x_n \equiv 0(mod3) $ abbiamo 1 possibilità (1) per scegliere l'ultima cifra. Dunque $ $a_{n+1}=2a_n+b_n+c_n $. Ripetendo le stesse considerazioni per $ $b_{n+1} $ e $ $c_{n+1} $ avremo che $ $b_{n+1}=a_n+2b_n+c_n $ e $ $c_{n+1}=a_n+b_n+2c_n $ .
Ora mi interessa dimostrare che $ $a_n=b_n $ : verifichiamo innanzitutto che $ $a_1=b_1 $ e questo è ovvio sono entrambi uguali a 1. Ora consideriamo l'uguaglianza $ $a_{n+1}=2a_n+b_n+c_n $ : sottraiamo ad entrambi i membri $ $b_{n+1} $ e otteniamo che $ $a_{n+1}-b_{n+1}=a_n-b_n $ ; noi sappiamo che la prima coppia $ $a_1-b_1=0 $ , dunque per ogni $ $n>1 $ $ $a_n-b_n=0 $ , ovvero $ $a_n=b_n $.
Ora dimostriamo che $ $c_n-a_n=1 $ . Partendo dall'uguaglianza $ $c_{n+1}=a_n+b_n+2c_n $ , sottraiamo da entrambi i membri $ $a_{n+1} $ e otteniamo che $ $c_{n+1}-a_{n+1}=c_n-a_n $, ma poichè $ $c_1-a_1=1 $ , allora per ogni $ $n>1 $ $ $c_n-a_n=1 $
Ora scriviamo $ $4^n $ in funzione del numero di multipli di 3 tra tutti gli $ $x_n $ , ovvero $ $c_n $ : $ $4^n=a_n+b_n+c_n=(c_n-1)+(c_n-1)+c_n=3c_n-2 $ : il numero dei multipli di 3 in funzione di $ $n $ è quindi $ $c_n=\frac{4^n+2}{3} $ . Sappiamo che esattamente la metà di questi multipli di 3 sono pari, per cui avremo che il numero di dispari multipli di 3 è esattamente $ $\frac{4^n+2}{6} $ . Sommato al numero totale di numeri pari, cioè $ $\frac{4^n}{2} $ , avremo che $ $m=\frac{4^n+2}{6}+\frac{4^n}{2}=\frac{4^{n+1}+2}{6} $
prendete con le pinze il risultato, devo ancora rivedere bene quello che ho fatto!
se qualche folle ha voglia di leggere questo malloppo, mi può dire se è giusto? grazie
