Un'altro problema di cui non ho i risultati

[quicktimeplayers]

Rieccomi.... questo è piuttosto simpatico:

Determinare tutte le coppie di interi $ (m,n) $ positivi tali che
$ \sqrt[60]{m^{n^5-n}} $
risulta a sua volta un intero...

Aspetto fiducioso

[darkcrystal]

Dato che $ n^5 \equiv n \pmod {15} $ per ogni n intero positivo, $ n^5 \equiv n \pmod 4 $ se n è o dispari o divisibile per 4, si pongono fondamentalmente due casi:

$ n $ è della forma $ 2 \cdot d $ con d dispari; allora $ \displaystyle \frac{n^5-n}{60}=\frac{f}{2} $ con f ancora dispari, per cui le coppie che vanno bene sono $ (q^2,2d) $;
$ n $ è di qualunque altra forma: allora $ \displaystyle \frac{n^5-n}{60} $ è intero, per cui qualunque m va bene: $ (m, n) $ con $ v_2(n) \neq 1 $

Ciao

P.s. Personalmente l'ho trovato orribile .

[quicktimeplayers]

$ n $ è della forma $ 2 \cdot d $ con d dispari; allora $ \displaystyle \frac{n^5-n}{60}=\frac{f}{2} $ con f ancora dispari, per cui le coppie che vanno bene sono $ (q^2,2d) $;
$ n $ è di qualunque altra forma: allora $ \displaystyle \frac{n^5-n}{60} $ è intero, per cui qualunque m va bene: $ (m, n) $ con $ v_2(n) \neq 1 $

Secondo me la soluzione è:
$ (p,1+2t) $ unito $ (p, 4t) $ con $ p $, $ t $ interi;
$ (p^q,t) $ con $ p $, $ q $, $ t $ interi e $ q $ divisore pari di $ 60 $
Infatti vediamo il numero
$ \displaystyle m^{\frac{(n^5-n)}{60}} $
1)
Poniamo $ m $ intero...
occorre che l'esponente sia un numero intero e quindi che
$ n^5 - n = 60\cdot k $ e quindi $ n(n-1)(n+1)(n^2+1) = 2^2\cdot3\cdot5\cdot k $.
E' vero che $ n^5 - n \equiv 0 \pmod {15} $, ma occorre, per soddisfare l'uguaglianza, che
$ n^5 - n \equiv 0 \pmod 4 $...
Se $ n $ è pari, ma non multiplo di $ 4 $, vediamo dalla scomposizione che $ n^5 - n $ è sì pari, ma non divisibile per $ 4 $ e dunque l'uguaglianza è sempre falsa...
Se $ n $ è dispari allora $ n+1 $ è pari, così come $ n-1 $, che significa che l'uguaglianza è sempre verificata.
Questo dà luogo alla prima soluzione con $ m $ intero qualunque:
$ (p,1+2t) $ ($ n $ dispari) e $ (p,4t) $ ($ n $ multiplo di $ 4 $)...
2)
Sia $ m $ intero esprimibile nella forma $ p^q $ con $ p $ intero e $ q $ intero pari e divisore di $ 60 $...
Quesa scelta di $ q $ comporta un cambiamento nell'equazione:
$ n(n-1)(n+1)(n^2+1) = 30 \cdot k = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot k $...
(parentesi necessaria... ho messo $ 30 $ come esempio, ma l'importante è che vada via almeno un fattore $ 2 $)
A questo punto è sufficiente un solo coefficiente pari a sinistra, che si ha sia che $ n $ sia pari ($ n $ stesso), sia che $ n $ sia dispari ($ n\pm1 $)...
Perchè $ q $ dev'essere divisore di $ 60 $?
$ m=p^q $ dunque si ha $ p^{\frac{q}{60} \cdot (n^5-n)} $...
quindi ora $ n^5 - n = \frac{60}{q} $...
se $ q $ non fosse divisore di $ 60 $ a destra avremmo un numero non intero e a sinistra un intero dato che $ n $ deve essere intero da richiesta...
Quindi la seconda parte della soluzione è proprio:
$ (p^q,t) $ con $ p $, $ q $, $ t $ interi con $ q $ pari è divisore di $ 60 $...

Alla fine era meno scontato di quanto sembrava!!!

[darkcrystal]

Mmmh... ma i nostri insiemi di soluzioni coincidono! Infatti il tuo (p,1+2t) e (p,4t) è il mio $ (m,n) $ con n non della forma 2*dispari (in effetti ogni n non di quella forma o è un dispari o è un multiplo di 4...); il tuo $ (p^q,t) $, se t è di una delle forme dette sopra è già compreso sopra, in caso contrario è della forma $ t=2d $ con d dispari; infine, una cosa del tipo $ p^q $ con q pari si può sempre scrivere come quadrato perfetto (infatti è il quadrato di $ \displaystyle p^{\frac{q}{2}} $, dove $ \displaystyle \frac{q}{2} $ è intero per ipotesi!)

E comunque, quando dici che l'esponente deve essere un numero intero stai affermando una cosa non necessariamente vera (o meglio, si, ho capito che hai capito, ma scritto così sembra sbagliato!)
Ciau!

[quicktimeplayers]

C'è una cosa che ancora non capisco...
Nella tua soluzione hai scritto $ m=q^2 $ e $ n=2 \cdot d $ con $ d $ dispari...
Però se pongo $ m=4=2^2 $ e $ n=3 \neq 2 \cdot d $, allora si trova
$ 2^{2 \cdot (\frac {240}{60})}=256 $...
Non mi torna, perchè non avrebbe dovuto essere intero non essendo soluzione...

[darkcrystal]

(4,3) è nella forma (m,n) con n non del tipo 2*dispari, come giustamente dici, quindi rientra nel primo insieme di soluzioni. Per essere precisi: le soluzioni sono l'unione dei miei due (e dei tuoi tre) insiemi, e quindi le uniche non-soluzioni sono del tipo (non quadrato, 2*dispari), come per esempio (5,2).

Spero ora sia tutto a posto, ciau!