Cauchy su un cerchio

[stefanos]

Sia $ $\textbf{T}$ $ l'insieme delle classi di equivalenza dei reali modulo 1 ($ $x \equiv y \pmod 1 \Leftrightarrow x-y \in \mathbb{Z}$ $). Sia $ $f(x) : \textbf{T} \to \textbf{T}$ $ una funzione continua, tale che $ $f(x + y) \equiv f(x) + f(y) \pmod 1$ $; dimostrare che $ $f(x) \equiv nx \pmod 1$ $.

Buon divertimento!

PS: ero in dubbio se metterlo in TdN.. ma penso che stia meglio qui

[stefanos]

Cos'e', a nessuno piacciono le cose dense (diadici ) ?
Se qualcuno lo sa risolvere in un altro modo, posti la soluzione!

[EvaristeG]

stefanos, se la soluzione procede con metodi olimpici, lascio il problema qui dov'è, ma se c'è da usare la continuità in modo più raffinato che non riducendosi ad una equazione di Cauchy, mi sa che va messo in mne.

[stefanos]

La continuita' va usata solo a un livello base (e' necessaria la sola definizione di funzione continua), e solo per portare la funzione sui reali. Comunque non c'e' nessun problema se viene messo in MnE.

(il procedimento e' praticamente uguale a quello per portare la soluzione della Cauchy sui reali, basandosi sull'ipotesi della continuita')

[EvaristeG]

Mah, in dubio pro reo, la lascio qui, per ora.