Due protoni inizialmente separati da una distanza $ r=30 pm $ hanno velocità uguali in modulo $ v=100Km/s $;il vettore velocità del primo forma un angolo $ \alpha=30° $ con la congiungente tra i protoni, la stessa cosa per il secondo, qui l'angolo lo chiamiamo $ \beta=60° $.
Determinare la distanza minima di avvicinamento nel corso del moto.
Si trascurino gli effetti relativistici e le perdite di energia tramite radiazione e l'interazione nucleare forte.
incontro ravvicinato
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Riccardo_ct
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incontro ravvicinato
Ultima modifica di Riccardo_ct il 01 ago 2008, 19:44, modificato 1 volta in totale.
Centriamo un sistema di assi cartesiani nella posizione iniziale di $ P_1 $ come in figura.
Se non si considerano forze agenti su di essi si muoveranno di moto rettilineo uniforme, in particolare, dopo un tempo $ t $ le coordinate di $ P_1 $ e $ P_2 $ saranno
$ P_1(vt\cos{\alpha}, vt\sin{\alpha}) $ e $ P_2(r-vt\cos{\beta}, vt\sin{\beta}) $.
Per i valori particolari degli angoli si può sostituire $ \sin{\beta}=\cos{\alpha}, \cos{\beta}=\sin{\alpha} $.
Allora risulta $ d(P_1,P_2)=\displaystyle \sqrt{(r-vt\sin{\alpha}-vt\cos{\alpha})^2+(vt\cos{\alpha}-vt\sin{\alpha})^2} $.
$ d(P_1,P_2) $ è minima, quando lo è il suo quadrato, in funzione di $ t $, unica variabile che non conosciamo.
Pongo $ f(t)=(r-vt\sin{\alpha}-vt\cos{\alpha})^2+(vt\cos{\alpha}-vt\sin{\alpha})^2 $ derivando per trovare $ t_0 $ punto di minimo.
Svolgendo i calcoli: $ f(t)=r^2+2v^2t^2-2rvt(\sin{\alpha}+\cos{\alpha}) $.
$ f'(t)=4v^2t-2rv(\sin{\alpha}+\cos{\alpha}) $.
Pongo $ f'(t)=0 \rightarrow t_0=\displaystyle \frac{2rv(\sin{\alpha}+\cos{\alpha})}{4v^2} $.
Poichè $ f''(t)>0 $, $ t_0 $ è effettivamente punto di minimo.
Introducendo i valori numerici: $ t_0=0,204\cdot 10^{-15} \ s $
e $ d_0=7,7997861 \ pm $.
Domanda: c'è un modo più intelligente e meno standard per farlo?
Se non si considerano forze agenti su di essi si muoveranno di moto rettilineo uniforme, in particolare, dopo un tempo $ t $ le coordinate di $ P_1 $ e $ P_2 $ saranno
$ P_1(vt\cos{\alpha}, vt\sin{\alpha}) $ e $ P_2(r-vt\cos{\beta}, vt\sin{\beta}) $.
Per i valori particolari degli angoli si può sostituire $ \sin{\beta}=\cos{\alpha}, \cos{\beta}=\sin{\alpha} $.
Allora risulta $ d(P_1,P_2)=\displaystyle \sqrt{(r-vt\sin{\alpha}-vt\cos{\alpha})^2+(vt\cos{\alpha}-vt\sin{\alpha})^2} $.
$ d(P_1,P_2) $ è minima, quando lo è il suo quadrato, in funzione di $ t $, unica variabile che non conosciamo.
Pongo $ f(t)=(r-vt\sin{\alpha}-vt\cos{\alpha})^2+(vt\cos{\alpha}-vt\sin{\alpha})^2 $ derivando per trovare $ t_0 $ punto di minimo.
Svolgendo i calcoli: $ f(t)=r^2+2v^2t^2-2rvt(\sin{\alpha}+\cos{\alpha}) $.
$ f'(t)=4v^2t-2rv(\sin{\alpha}+\cos{\alpha}) $.
Pongo $ f'(t)=0 \rightarrow t_0=\displaystyle \frac{2rv(\sin{\alpha}+\cos{\alpha})}{4v^2} $.
Poichè $ f''(t)>0 $, $ t_0 $ è effettivamente punto di minimo.
Introducendo i valori numerici: $ t_0=0,204\cdot 10^{-15} \ s $
e $ d_0=7,7997861 \ pm $.Domanda: c'è un modo più intelligente e meno standard per farlo?
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Riccardo_ct
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Effettivamente c'era scritto di trascurare la perdita di energia, non l'interazione stessa 
.
Le idee potrebbero essere:
1. Vedere con che angolo, in funzione di t, cambia la congiungente dei due protoni.
2. Scomporre l'accelerazione secondo gli assi cartesiani e impostare nuovamente l'equazione del moto.
Magari scrivo qualcosa nel pomeriggio
edit: facendo il problema mi sono accorta che è molto più difficile di quanto potesse sembrare
.Le idee potrebbero essere:
1. Vedere con che angolo, in funzione di t, cambia la congiungente dei due protoni.
2. Scomporre l'accelerazione secondo gli assi cartesiani e impostare nuovamente l'equazione del moto.
Magari scrivo qualcosa nel pomeriggio
edit: facendo il problema mi sono accorta che è molto più difficile di quanto potesse sembrare
La minima distanza senza contare le forze che agiscono si trova in modo più rapido cambiando sistema di riferimento. Ho anche cercato di dimostrare che, con i valori numerici dati, le forze sono trascurabili, ma sfortunatamente pare proprio che questo non sia vero...
Non so da dove venga il problema, ma mi auguro che chi lo ha inventato abbia in mente una soluzione che non richieda di passare dalla soluzione dell'equazione differenziale che si ottiene volendo scrivere le equazioni del moto...
Non so da dove venga il problema, ma mi auguro che chi lo ha inventato abbia in mente una soluzione che non richieda di passare dalla soluzione dell'equazione differenziale che si ottiene volendo scrivere le equazioni del moto...
), good luck.up! forza gente è un bel problema (anche se in effetti un po' impegnativo)
per rispondere a eucla: massimo avvicinamento -> derivata della velocità relativa lungo la congiungente = 0 -> $ (\vec{v_1}-\vec{v_2})\cdot (\vec{r_1}-\vec{r_2}) =0 $
per rispondere a eucla: massimo avvicinamento -> derivata della velocità relativa lungo la congiungente = 0 -> $ (\vec{v_1}-\vec{v_2})\cdot (\vec{r_1}-\vec{r_2}) =0 $
All of physics is either impossible or trivial.
It is impossible until you understand it, and then it becomes trivial.
Live as if you were to die tomorrow.
Learn as if you were to live forever.
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Penso di essere riuscito a cavarne qualcosa...
Sia $ \displaystyle \vec{F_1} $ la forza che agisce sul primo protone. È evidente che sul secondo protone agisce una forza $ \displaystyle \vec{F_2} = - \vec{F_1} $.
Adesso mettiamoci nel sistema del secondo protone. Sul primo protone agisce una forza fittizia $ \displaystyle -\vec{F_2} = \vec{F_1} $. Possiamo quindi trattare la situazione in modo molto più semplice immaginando che il protone 2 sia fissato e il protone 1 abbia carica $ \displaystyle 2Q $ invece di $ \displaystyle Q $.
A questo punto il problema è facile, perchè possiamo calcolare l'energia del sistema:
$ \displaystyle E = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2Q^2}{d} $
E sappiamo che il momento angolare è (in modulo, tanto la direzione non cambia):
$ \displaystyle L = m d v \sin{\theta} $
Sapendo che nel momento di avvicinamento massimo $ \displaystyle \theta = 90° $ (post di Bacco qua sopra), possiamo trovare la minima distanza d.
Sia $ \displaystyle \vec{F_1} $ la forza che agisce sul primo protone. È evidente che sul secondo protone agisce una forza $ \displaystyle \vec{F_2} = - \vec{F_1} $.
Adesso mettiamoci nel sistema del secondo protone. Sul primo protone agisce una forza fittizia $ \displaystyle -\vec{F_2} = \vec{F_1} $. Possiamo quindi trattare la situazione in modo molto più semplice immaginando che il protone 2 sia fissato e il protone 1 abbia carica $ \displaystyle 2Q $ invece di $ \displaystyle Q $.
A questo punto il problema è facile, perchè possiamo calcolare l'energia del sistema:
$ \displaystyle E = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2Q^2}{d} $
E sappiamo che il momento angolare è (in modulo, tanto la direzione non cambia):
$ \displaystyle L = m d v \sin{\theta} $
Sapendo che nel momento di avvicinamento massimo $ \displaystyle \theta = 90° $ (post di Bacco qua sopra), possiamo trovare la minima distanza d.
Perché non adottare un sistema di riferimento un po' furbo?
A me torna 12.21 pm
PS: scusate, c'era un errore nel calcolo
A me torna 12.21 pm
PS: scusate, c'era un errore nel calcolo
Ultima modifica di BMcKmas il 26 ago 2008, 16:27, modificato 1 volta in totale.
BMcKMas
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
Tipo quello del centro di massa......
Poi scrivi l'energia in funzione della distanza, della velocità di variazione della distanza e della velocità di rotazione attorno al centro di massa.
Utilizzi la conservazione del momento angolare per esprimere la velocità di rotazione in funzione della distanza e del momento angolare.
Poni la derivata temporale della distanza uguale a zero e trovi la distanza corrispondente.
Sbatti dentro il momento angolare e l'energia calcolate con le condizioni iniziali e ci sei.
Delle due approssimazioni che si sono fatte (momento angolare conservato ed energia conservata) la prima credo sia abbastanza buona, la seconda non lo so. In ogni caso senza questo il problema mi pare un po'intrattabile.
Poi scrivi l'energia in funzione della distanza, della velocità di variazione della distanza e della velocità di rotazione attorno al centro di massa.
Utilizzi la conservazione del momento angolare per esprimere la velocità di rotazione in funzione della distanza e del momento angolare.
Poni la derivata temporale della distanza uguale a zero e trovi la distanza corrispondente.
Sbatti dentro il momento angolare e l'energia calcolate con le condizioni iniziali e ci sei.
Delle due approssimazioni che si sono fatte (momento angolare conservato ed energia conservata) la prima credo sia abbastanza buona, la seconda non lo so. In ogni caso senza questo il problema mi pare un po'intrattabile.