Formule belle

[Simo_the_wolf]

Quanti primi...

$ n^2 + n + 41 = (n + \xi ) ( n + \bar{\xi}) $

con $ \xi, \bar{\xi} = \frac{1 \pm \sqrt { - 163 }} 2 $

Eh, eh il buon vecchio $ - 163 $...

[Il_Russo]

Le formule più belle le avete già postate, quindi io posto questa che non è una formula ma è lo stesso un fatto bellissimo.

Se r è il raggio della circonferenza (quella piccola) allora la superficie grigia è uguale a $ r^2 $

[Il_Russo]

Già che ci sono posto un bel fatto che serve a dimostrare il mio post di sopra (la soluzione "ufficiale" tratta da Febbraio 2007 è troppo contosa)

Generalizzazione di Pitagora:

Siano $ F_1 $, $ F_2 $, $ F_3 $ figure geometriche simili costruite rispettivamente sui due cateti e sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo, di superficie rispettivamente $ S_1 $, $ S_2 $, $ S_3 $, allora $ S_1 + S_2 = S_3 $

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Già che ci sono posto un bel fatto che serve a dimostrare il mio post di sopra (la soluzione "ufficiale" tratta da Febbraio 2007 è troppo contosa)

Generalizzazione di Pitagora:

Siano $ F_1 $, $ F_2 $, $ F_3 $ figure geometriche simili costruite rispettivamente sui due cateti e sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo, di superficie rispettivamente $ S_1 $, $ S_2 $, $ S_3 $, allora $ S_1 + S_2 = S_3 $

basta dire che $ S_1 $, $ S_2 $, $ S_3 $ hanno uno stesso rapporto K con le aree dei relativi quadrati $ A_1 $, $ A_2 $, $ A_3 $ costruiti sui lati da cui $ K \cdot S_1 + K \cdot S_2 = K \cdot S_3\ \Longleftrightarrow A_1 + A_2 = A_3 $

[edriv]

Altra formulina carina:
se $ ~ f:[0,1] \rightarrow \mathbb{C} $ è derivavile, non si annulla mai e $ ~ f(0) = f(1) $, allora:

$ \displaystyle \frac 1 {2\pi i} \int_0^1\frac{f'(x)}{f(x)} dx \in \mathbb{Z} $

[Russell]

Sia $ A $ un insieme. Allora

$ \displaystyle {\left \begin{array}{rl} A \subseteq \mathbb{N}\\ 0\in A\\ \underset{n\in \mathbb{N}}{\forall}\ \ \ n\in A \Longrightarrow n+1\in A \end{array} \right\}} \Longrightarrow A=\mathbb{N} $

Il mitico principio di induzione!

[Neo85]

$ \int_{\Omega} d\omega = \int_{\partial \Omega} \omega $

Cosa c'è di più bello della formula di Stokes? Per chi non la conoscesse si tratta di una generalizzazione in dimensione più alta del teorema fondamentale del calcolo.

Come non quotare? La miglior formula!!

[mattilgale]

una tra le più belle formule di tdn

$ \displaystyle \sum_{d|n} \varphi (d) = n $

[pak-man]

Formula di Hardy e Ramanujan per le partizioni di $ n $

$ \displaystyle p(n)=\frac 1 {\pi \sqrt 2} \sum_{1 \le k \le n} { \sqrt k \sum_{h mod k} { \omega_{h,k} e^{-2\pi i^{\frac {hn}k}} $$ \displaystyle \frac d {dn} \left( \frac { \cosh {\left( \frac {\pi \sqrt {n-\frac 1 {24}}} k \sqrt{\frac 2 3} \right)}-1 } { \sqrt {n-\frac 1 {24}} }\right)+O \left(n^{-\frac 1 4} \right) } } $

le partizioni di $ n $ sono la parte intera di $ p(n) $.

Questa formula è stata in seguito migliorata da Rademacher, in modo che il risultato sia un numero intero, e non un'approssimazione:

$ \displaystyle p(n)=\frac 1 {\pi\sqrt 2} \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{0 \le m<k;(m,k)=1} e^{(\pi is(m,k)-2\pi inm/k)}\sqrt{k} $$ \frac{\partial}{\partial n}\left( \frac{\sinh\left(\displaystyle\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left\displaystyle(n-\displaystyle\frac{1}{24}\right)} \right) } { \displaystyle\sqrt{n-\frac 1 {24}} }\right) $

[Haile]

Mi sembra buona per star qui e mi piace per la semplicità

$ $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{z^2 + 1} \, dz = \pi$ $

Deriva dal fatto che

$ $\frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ $

[spugna]

e questa l'avete dimenticata?

$ \sum_{n} \dfrac{1}{n^s} = \prod_{p} \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{p^s}} $

[Kopernik]

La formula di Eulero (una delle tante) per triangoli qualunque:

$ \[abc=4Rrp\, ,\] $

ove a,b, c sono i lati del triangolo, R è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo, r il raggio della circonferenza inscritta e p il semiperimetro.

[Agi_90]

$ i^{-i} = \sqrt{e^{\pi}} $

[Cassa]

Lunghezza di un rotolo di carta: (igienica )

$ \displaystyle\frac{\pi}{S}(R-r)(R+r+S) $

dove R raggio esterno, r raggio interno, S spessore.

Sperando di non aver fatto errori

[spugna]

$ \forall s \in \mathbb{R}|s>0,\zeta(1-s)=\dfrac{\zeta(s) \cdot sin \left(\dfrac{1-s}{2} \pi \right) \cdot (s-1)!}{2 \cdot (2 \pi)^s} $