Un modo per dimostrare la disuguaglianza è proprio quello di usare AM-GM.
Infatti hai $ \displaystyle AM(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})= \frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{3}\geq GM(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})=\sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=1 $.
Un altro modo semplice per risolverla è usare la disuguaglianza di riarrangiamento: supponi che sia, senza perdita di generalità, $ a\geq b \geq c $. Sarà allora $ \frac{1}{c}\geq \frac{1}{b}\geq \frac{1}{a} $. La disuguaglianza di riarrangiamento ti dice che si avrà $ \displaystyle a\cdot\frac{1}{b}+b\cdot\frac{1}{c}+c\cdot\frac{1}{a}\geq a\cdot\frac{1}{a}+b\cdot\frac{1}{b}+c\cdot\frac{1}{c}=3 $.
Un terzo modo può essere quello di sfruttare il fatto che la disuguaglianza è omogenea (tutti gli addendi sono allo stesso grado). In questo caso infatti, se l'uguaglianza è vera per $ (a,b,c) $, essa sarà vera anche per $ (ka,kb,kc) $, con $ k $ reale.
A questo punto, se riesci a dimostrare che la disuguaglianza vale per tutte le terne $ (a,b,c) $ tali che $ a\cdot b\cdot c=1 $, sai che essa varrà per tutte le terne $ (ka,kb,kc) $, e dunque per tutte le terne reali.
Puoi quindi supporre $ a\cdot b\cdot c=1 $ e ottenere:$ \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}=a^2c+b^2a+c^2b $. Usando AM-GM, trovi che quest'ultima espressione è maggiore o uguale a tre (in effetti nel caso specifico questa soluzione non è la più efficace).
Spero, nonostante io non sia assolutamente un esperto in disuguaglianze, di averti passato qualche idea utile.
EDIT: Ho corretto l'errore segnalatomi da Goldrake.
. Quello che mi interesserebbe vedere è come si risolve in genere una disuguaglianza di questo tipo... in particolare ponendo condizioni del tipo
