Disuguaglianza dall'Engel

[Algebert]

Siano $ $a, b, c$ $ i lati di un triangolo. Dimostrare allora che:

$ $\frac {a}{b + c - a} + \frac {b}{c + a - b} + \frac {c}{a + b - c} \ge 3$ $

Io la trovo abbastanza fattibile. Spero non sia già stata postata.

Ciao a tutti e buon lavoro
Alessio

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

uff..una volta che posto in algebra -.-

[EvaristeG]

Gabriel, o scrivi una soluzione decente o non scrivi niente.
Inoltre, visto che ti sembra così banale, magari puoi lasciarla agli altri senza rovinare il divertimento postando il modo ma non i conti...

[l'Apprendista_Stregone]

Bene
se $ $a,b,c$ $ sono i lati di un triangolo possiamo scrivere:
$ $a=x+y,b=x+z,c=z+y$ $
Riscrivendo la diseguaguaglianza e svolgendo i calcoli otteniamo che:
$ $\frac {x^2y +y^2x+x^2z+z^2x+z^2y+y^2z}{2xyz}\ge 3$ $
da cui $ $\frac {x^2y +y^2x+x^2z+z^2x+z^2y+y^2z}{6}\ge xyz $ $
Che altro non sarebbe se non AM-GM


Ciao!

[Algebert]

@ l'Apprendista_Stregone:
anch'io ho ragionato come te . Tuttavia l'Engel la dimostra in questo modo:
poniamo $ $x = b + c - a$ $, $ $y = c + a - b$ $ e $ $z = a + b - c$ $. Poiché $ $a, b, c$ $ sono i lati di un triangolo, per la disuguaglianza triangolare allora $ $x, y, z$ $ sono tutti positivi. Dalle precedenti relazioni possiamo facilmente ricavare che:

$ $a = \frac {y + z}{2}$ $, $ $b = \frac {x + z}{2}$ $, $ $c = \frac {x + y}{2}$ $

Perciò sostituendo le espressioni trovate la disuguaglianza diventa:

$ $\frac {1}{2} \left(\frac {y}{z} + \frac {z}{y} + \frac {x}{y} + \frac {y}{x} + \frac {x}{z} + \frac {z}{x} \right) \ge 3$ $

Ora, l'LHS è sicuramente una quantità maggiore o uguale a 3; per dimostrarlo basta applicare questo semplice lemma tre volte:

$ $\frac {x}{y} + \frac {y}{x} \ge 2$ $

con $ $x, y$ $ quantità positive. Si vede anche facilmente che l'uguaglianza sussiste solo quando:

$ $x = y = z \Rightarrow b + c - a = c + a - b = a + b - c \Rightarrow a = b = c$ $

cioè quando il triangolo è equilatero .