Riesumando topic vecchi (sì, non ho di meglio da fare), tenterò di dare una soluzione.
Tra l'altro ho riguardato il problema originale, quindi riscrivo meglio alcuni dati:
$ v_S=\displaystyle \bigg(\frac{\gamma RT}{\mu}\bigg)^{\frac{1}{2}} $
Per massa della grammomolecola d'aria $ \mu $ ho inteso che $ \mu =\displaystyle \frac{M}{n} $ dove $ M $ è la massa di una "porzione" (
) d'aria che contiene $ n $ moli.
Ma possiamo anche scrivere $ M=V\rho $.
Andando a sostituire otteniamo: $ v_S^2=\displaystyle \frac{\gamma nRT}{V\rho} $.
Ora, potendo considerare l'aria un gas ideale: $ p_0V=nRT\rightarrow v_S^2=\gamma \displaystyle \frac{p_0}{\rho} $ o meglio, per quel che ci interesserà a noi: $ \rho =\displaystyle \frac{\gamma p_0}{v_S^2} $.
A questo punto consideriamo i due momenti (1) in cui l'aria è libera di scorrere nella galleria, e (2) quello in cui l'aria subisce l'impatto col treno.
(1) La velocità dell'aria è $ v_1 $ e si trova a pressione $ p_1 $.
(2) La velocità relativa treno-aria è $ v_T $, la corrispondente pressione esercitata dall'aria sul treno è $ p_T $.
Per Bernoulli, si ha: $ \displaystyle p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=p_T+\frac{1}{2}\rho v_T^2 $.
Ora, vale $ S_0\cdot v_1=S_T\cdot v_T $ da cui $ v_1=\displaystyle \frac{S_T\cdot v_T}{S_0} $.
$ \displaystyle p_1+\frac{1}{2}\frac{\gamma p_0}{v_S^2}\bigg(\frac{S_T}{S_0}\bigg)^2v_T^2=p_T+\frac{1}{2} \frac{\gamma p_0}{v_S^2}S_T^2v_T^2 $.
Dunque $ \Delta p=p_T-p_1=\displaystyle \frac{1}{2}\gamma p_0}\cdot \bigg(\frac{v_T}{v_S}\bigg)^2\bigg(\frac{S_T^2-S_0^2}{S_0^2}\bigg) $.
Io mi sto chiedendo perchè ci han dato il valore di $ \gamma $. L'ipotesi è per farci sapere che è roba nota, non da ricavare, sennò sai che casino
. Spero di non aver sbagliato troppe cose.
