Valore minimo di una funzione

[Algebert]

Trovate il minimo valore che può assumere la seguente funzione:

$ $E(x) = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + \dots + |x - 100|$ $

dove $ \displaystyle x \in \mathbb{R} $.


Buon lavoro !
Alessio

[exodd]

se tutti gli addendi fossero posotovo o negativi, si risolverebbe facilmente, ma visto che ci sono moduli di mezzo, conviene avere un numero che dovrebbe essere, senza fare calcoli, 101/2

[Algebert]

se tutti gli addendi fossero posotovo o negativi, si risolverebbe facilmente, ma visto che ci sono moduli di mezzo, conviene avere un numero che dovrebbe essere, senza fare calcoli, 101/2

Suvvia, non è troppo difficile, exodd vi ha dato un utilissimo suggerimento !

[Haile]

Ci provo

sia

$ $f(x) := \sum_{a=1}^{100} |x-a|$ $

la funzione da minimizzare (ha minimo per qualche x, ma non ha massimo). Ricordando che

$ $\frac{d}{d \, x} |x| = SIGN(x)$ $

dove

$ $SIGN(x) = \frac{|x|}{x}$ $

a patto che l'argomento del modulo sia diverso da zero.

Per trovare il minimo di $ $f(x)$ $ poniamo

$ $f'(x) = 0$ $

ovvero

$ $\sum_{a=1}^{100} SIGN(x-a) = 0$ $

Abbiamo 100 addendi, e SIGN può essere solo 1 in caso di argomento positivo o
-1 in caso di argomento negativo. Saranno quindi 50 addendi positivi, e 50 negativi. Poniamo

$ $SIGN(x-1) = 1$ $
$ $SIGN(x-50) = 1$ $

(e cosi anche tutti gli addendi compresi)

e

$ $SIGN(x-51) = -1$ $
$ $SIGN(x-100) = -1$ $

(e tutti gli addendi compresi).

Per il primo si ricava che tutte e 50 le equazioni sono vere per $ $x>50$ $, per il secondo $ $x<51$ $, ovvero la derivata si annulla per $ $50<x<51$ $. La funzione ha un minimo per $ $50<x<51$ $, e tale minimo è (prendiamo x=50.5)

$ $(49+0.5) + \cdots + (1 + 0.5) + 0.5 + 0.5 + (1 + 0.5) + \cdots + (49 + 0.5)$ $

ovvero

$ $2 \bigg( \frac{49}{2}(50) + 0.5 \cdot 49 \bigg) = 2500$ $

Ok, è un casino bestiale saranno bene accetti gli appunti sul metodo che seguiranno il mio post

[EvaristeG]

Hmm ... no.
Non puoi: per fare questa cosa devi star cercando minimo e massimo in un intervallo in cui la tua funzione è derivabile ... quella somma di moduli non è derivabile in nessun intero tra 1 e 100 ... quindi devi anche analizzare a mano tutti questi valori per escludere che il punto estremale si trovi tra di essi. Inoltre, non è detto che il punto trovato sia minimo o massimo (già dovresti capire qual è di questi due, nel caso), ma potrebbe anche essere un flesso.
Ovviamente, non succede niente di tutto ciò, ma nel tuo post non c'è una sola parola delle tante che potrebbere spiegare perché non ci possono essere flessi etc etc.

[Algebert]

OK allora posto la mia soluzione (o meglio, quella del libro da cui ho preso questo problema ).
L'importantissima disuguaglianza triangolare ci dice che $ $|a - b| \le |a| + |b|$ $, con l'uguaglianza che vale se e solo se $ \displaystyle a $ e $ \displaystyle b $ hanno segno opposto.
Prendiamo degli interi $ $k \in [1,50]$ $: vediamo facilmente che $ $|x - k| + |x - (101 - k)| \ge 101 - 2k$ $(all'RHS possiamo tranquillamente togliere il valore assoluto visto che si tratta di una quantità sempre positiva), con l'uguaglianza che si ha per $ $x \in [k, 101 - k]$ $.
Perciò la funzione $ \displaystyle E(x) $ si spezza in 50 coppie (un po' come in una progressione aritmetica o geometrica ) ciascuna delle quali assume come valore minimo $ \displaystyle 101 - 2k $ con $ \displaystyle k \in [1,50] $, e quindi:

$ $E(x)_{min} = \sum_{k=1}^{50} {(101 - 2k)} = 1 + 3 + 5 + \dots + 99 = 2500$ $

I valori della variabile $ \displaystyle x $ che danno questo sono quelli che soddisfano la disequazione $ $50 \le x \le 51$ $, quindi $ \displaystyle x \in [50,51] $.