Davvero carino!
Possiamo riscrivere $ \displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{z} $ come $ \displaystyle \frac{y-x}{xy}=\frac{1}{z} $ da cui ricavo $ \displaystyle y-x=\frac{xy}{z} $.
Fidatevi che si ricava allora, anche per gli altri, che $ \displaystyle \frac{xy}{z}, \frac{yz}{x}, \frac{zx}{y} $ devono essere interi.
Per ipotesi $ (x,y,z)=h $. Essendo omogenea l'uguaglianza, posso però moltiplicare ambo i membri per $ h $ senza cambiarne la forma.
Posso dunque lavorare sempre con le variabili $ x,y,z $ supponendo che $ (x,y,z)=1 $ senza alterare il risultato. In fondo prenderò in considerazione $ h $.
Prendiamo in considerazione $ \displaystyle \frac{xy}{z} $ ottenendo che $ z\vert xy $.
Caso 1: $ (x,y)=1 \rightarrow \exists z_1,z_2 \in \mathbb{N}\big{\vert} z=z_1z_2, \ z_1\vert x, \ z_2\vert y $.
Caso 2: $ (x,y)=k $. Se $ z\vert k^2 $ si ha un assurdo perchè sarebbe $ (x,y,z)\not =1 $. Allora, anche in questo caso, esistono $ z_1,z_2 $.
Allora pongo $ x=z_1a, y=z_2b $.
Imponendo ora che $ \displaystyle \frac{yz}{x} $ sia intero, sostituisco e ottengo $ \displaystyle \frac{yz}{x}=\frac{(z_2b)(z_1z_2)}{z_1a}=\frac{bz_2^2}{a} $.
Allo stesso modo, $ \displaystyle \frac{zx}{y}=\frac{(z_1z_2)(z_1a)}{z_2b} =\frac{az_1^2}{b} $.
Ora, per la mia ipotesi $ (x,y,z)=1\rightarrow (z_1a,z_2b,z_1z_2)\rightarrow =1\Rightarrow a\not \vert z_2, b\not \vert z_1 $.
Dalle due relazioni ricaviamo allora $ a\vert b, b\vert a \Rightarrow a=b $.
Allora $ \displaystyle \frac{zx}{y}\cdot y^2=z_1^2y^2 \rightarrow xyz=z_1^2y^2 $ dunque è un quadrato.
Dunque, anche $ h^4xyz $ lo è.
Ovviamente poi se ancora $ (x,y,z)=1 \rightarrow \displaystyle y-z=\frac{xy}{z}=a^2 $ e se consideriamo $ (x,y,z)=h $ anche $ h(y-x) $ è un quadrato (contiene due fattori $ h $ in più rispetto al precedente).
P.S. Non avevo visto la dimostrazione di mod, dato che mentre postavo ho fatto anche tante altre cose, e ora sono leggermente shockata dal fatto che lui ha impiegato metà spazio rispetto a quanto ce ne ho messo io
Bravo mod!
).
