Il lemma di Hensel

[FrancescoVeneziano]

Il lemma di Hensel è un fatto a volte utile la cui dimostrazione è un simpatico esercizio. È possibile che sia già passato per il forum, ma riproporlo per chi non l'ha visto non è certo male.

Siano p un primo e f(x) un polinomio a coefficienti interi.
Se a è un intero tale che $ f(a)\equiv 0 \pmod p $ e $ f'(a)\not\equiv 0\pmod p $ allora per ogni intero positivo n esiste un intero $ a_n $ tale che $ f(a_n)\equiv 0\pmod {p^n} $

Bonus:
1) Generalizzare per polinomi in più variabili
2) Modificare le ipotesi per comprendere anche il caso in cui f'(a) sia divisibile per p
3) Individuare un legame col metodo iterativo di Newton per trovare le radici dei polinomi

[jordan]

Rispondo perché non avevo mai visto questo lemma..
Sia $ f(x)=\sum_{i=0}^m{\alpha_ix^i} \in \mathbb{Z}[x] $ un polinomio di grado $ m $, quindi vale $ f^1(x)=\sum_{i=1}^m{i\alpha_ix^{i-1}} \in \mathbb{Z}[x] $, dimostriamo la tesi per PMI. Per ipotesi abbiamo che esiste $ a_0 \text{ t.c. }f(a_0) \equiv 0 \pmod p, f^1(a_0) \not \equiv 0 \pmod p $ quindi esiste $ t_0 \in \mathbb{Z}, t_0 \in [0,p) \text{ t.c. } f(a_0)=p^2+t_0p $. E’ facile mostrare che esiste un intero $ k \in [0,p) \text{ t.c } p^2 | f(a_0+kp) $, infatti $ f(a_0+kp)=\sum_{i=0}^m{\alpha_i(a_0+kp)^i} $$ \equiv f(a_0)+kpf^1(a) \equiv p( t_0+kf^1(a_0)) \pmod {p^2} $ sse $ p| t_0+kf^1(a_0) $: se $ t_0=0 \implies k=0 $ altrimenti esiste un tale k in quanto RHS forma un sistema completo di residui (difatti se $ 0<c<d<p $ allora $ t_0+cf^1a_0 \equiv t_0+df^1(a_0) \pmod p $$ \implies f^1(a_0)(c-d) \equiv 0 \pmod p $, assurdo).
Passo dell’induzione: esiste $ a_n \text{ t.c} p^n | f(a_n) $ allora la tesi è valida anche per $ n+1 $ in quanto (sulla falsariga di quanto detto precedentemente ) vale $ f(a_n+kp^n) \equiv f(a_n)+kp^nf^1(a_n) \pmod {p^{n+1}} $$ \text{ e } f^1(a_n) \equiv f^1(a_0) \not \equiv 0 \pmod p $.
Passiamo ai polinomi $ f(x_1, x_2, ..., x_t) \in \mathbb{Z}[x] $ in piu variabili: la tesi è ancora valida a patto che esiste un vettore $ Y=(y_1, …, y_t) \in \mathbb{R}^t \text{ t.c. } p|f(Y) $ e un indice $ i \in [1,t] \text{ t.c. } f^1_i(Y) \not \equiv 0 \pmod p $, difatti sarà sufficiente considerare $ f(X) $ come $ f(y_1, y_2, ... ,y_{i-1}, x_i, y_{i+1} ,.., y_t) \in \mathbb{Z}[x] $ polinomio in una variabile e ricondursi al caso precedente. [N.B. $ f^1_i $ indica la derivata parziale di f rispetto a $ x_i $].
Se togliamo l’ipotesi che $ f^1(a_0) \not \equiv 0 \pmod p $ la tesi è in generale falsa (un primo controesempio potrebbe essere un vecchio Cesenatico: $ x^2+3x+5 \not \equiv 0 \pmod {11^2} $) o una classe di controesempi $ p(x)=(x-1)^n+p^{n-1} $. E’ piu simpatico invece dimostrare che l’ipotesi viene tolta allora la tesi è sempre falsa: poniamo infatti che esiste un intero $ a \text{ t.c } f(a) \equiv f^1(a) \equiv 0 \pmod p $ ma nessuno tale che $ p|f(a) \text{ e } p \nmid f^1(a) $ allora $ f(a+kp) \equiv f(a) \pmod {p^2} \forall k \in \mathbb{Z} $ per cui se la tesi fosse vera risulterebbe che esiste un intero $ a $ t.c. $ p^n |f(a) \forall n \in \mathbb{N} $, il che è un po assurdo.
Riguardo l’ultima domanda non saprei che dire..

[FrancescoVeneziano]

Le ipotesi (su f(a) e f'(a) ) non sono migliorabili singolarmente, però è possibile cambiarle entrambe.
Se $ p^\alpha| f(a) $ e $ p^\beta||f'(a) $ (quindi $ f'(a)\not\equiv 0{\pmod {p^{\beta+1}}} $)e tra $ \ \alpha $ e $ \ \beta $ c'è un'opportuna relazione...

...risulterebbe che esiste un intero $ a $ t.c. $ p^n |f(a) \forall n \in \mathbb{N} $, il che è un po assurdo.

Non è assurdo, vuol dire che f(a)=0, e in effetti è quello che succede se per esempio il polinomio f è una potenza di x.