effetto gemelli

[gwmackey]

Per chi non la conosce, la relativita' puo' sembrare quasi esoterica, tanti sono gli effetti stravaganti previsti dalla teoria...uno dei piu' famosi (nonche' discussi) e' l'effetto gemelli: un astronauta si imbarca per un viaggio spaziale, effettuato a una velocita' media $ \, v \, $ non trascurabile rispetto a $ \, c\, $ , lasciando il suo gemello sulla terra. Al suo ritorno, quando per lui sono passati $ \, \Delta\tau_{1} \, $ anni, scopre che per il suo gemello sulla terra sono passati $ \Delta\tau_{2}>\Delta\tau_{1} $ anni, in particolare e' concretamente possibile (a patto che $ \, v \, $ sia sufficientemente alta) che il fratello sia morto da un pezzo . Ebbene l'esistenza di questo effetto e' facilmente dimostrabile per via grafica sapendo semplicemente che:

1) la struttura metrica dello spazio-tempo della relativita' ci dice che la ''distanza'' relativistica $ \Delta s $ fra due punti dello spazio-tempo e' massima e non minima se li si congiunge con una linea retta,

2)il tempo misurato da chi viaggia per effettuare tale tragitto (detto tempo proprio) e' $ \Delta \tau = \frac{\Delta s}{c} $.

Qualcuno di voi giovanotti saprebbe come fare?

buon divertimento....

[P.S. ovviamente bisogna tenere anche in conto il postulato fondamentale della relativita' ristretta, ovvero che esiste una velocita' limite detta $ \, c \, $ che non puo' essere superata da nessun oggetto fisico]

[Fedecart]

Quello dei gemelli, a quanto ne so io, è un paradosso molto famoso che nasce dalla relatività ristretta e dalle trasformazioni di Lorentz, specie quella sul tempo. In ogni caso è solo un paradosso perchè per partire con un astronave alla volta di una stella lontana è necessaria una fase iniziale di accelerazione e poi ci sarà un altra accelerazione, seppur magari anche solo di direzione e non modulo, quando l'astronave raggiunge la stella e gira. Dunque il moto non è più uniforme.
Non saprei però come spiegarlo con strumenti matematici.

http://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_dei_gemelli

Poi, non avevo mai mai sentito prima il fatto della distanza massima tra sue punti con una retta. Qualcuno me la può spiegare? Grazie...

[matteo16]

Per chi non la conosce, la relativita' puo' sembrare quasi esoterica, tanti sono gli effetti stravaganti previsti dalla teoria...uno dei piu' famosi (nonche' discussi) e' l'effetto gemelli: un astronauta si imbarca per un viaggio spaziale, effettuato a una velocita' media $ \, v \, $ non trascurabile rispetto a $ \, c\, $ , lasciando il suo gemello sulla terra. Al suo ritorno, quando per lui sono passati $ \, \Delta\tau_{1} \, $ anni, scopre che per il suo gemello sulla terra sono passati $ \Delta\tau_{2}>\Delta\tau_{1} $ anni, in particolare e' concretamente possibile (a patto che $ \, v \, $ sia sufficientemente alta) che il fratello sia morto da un pezzo . Ebbene l'esistenza di questo effetto e' facilmente dimostrabile per via grafica sapendo semplicemente che:

1) la struttura metrica dello spazio-tempo della relativita' ci dice che la ''distanza'' relativistica $ \Delta s $ fra due punti dello spazio-tempo e' massima e non minima se li si congiunge con una linea retta,

2)il tempo misurato da chi viaggia per effettuare tale tragitto (detto tempo proprio) e' $ \Delta \tau = \frac{\Delta s}{c} $.

Qualcuno di voi giovanotti saprebbe come fare?

buon divertimento....

[P.S. ovviamente bisogna tenere anche in conto il postulato fondamentale della relativita' ristretta, ovvero che esiste una velocita' limite detta $ \, c \, $ che non puo' essere superata da nessun oggetto fisico]

ma intendi in uno spazio di minkowski?
perchè mi sa che se non fosse quello si complicherebbero un bel po' le cose.
tra l'altro non può essere quello di minkowski perchè i sistemi non sono più inerziali.

[gwmackey]

Quello dei gemelli, a quanto ne so io, è un paradosso molto famoso che nasce dalla relatività ristretta e dalle trasformazioni di Lorentz, specie quella sul tempo. In ogni caso è solo un paradosso perchè per partire con un astronave alla volta di una stella lontana è necessaria una fase iniziale di accelerazione e poi ci sarà un altra accelerazione, seppur magari anche solo di direzione e non modulo, quando l'astronave raggiunge la stella e gira. Dunque il moto non è più uniforme.

calma, non facciamo confusione...parleremo del paradosso dei gemelli in un secondo momento, prima bisogna capire l'effetto gemelli in se' e per se', su cui l'argomentazione del paradosso si fonda. per quanto riguarda la distanza massima fra due punti su una retta, questo fatto e' caratteristico della metrica particolare dello spazio-tempo detto di Minkowski, della relativita' ristretta, in cui come si sa si considera il tempo $ \, t \, $ , o meglio $ ct $ (perche' la dimensionalita' sia corretta), una coordinata di quello che non e' piu' uno spazio tridimensionale ma uno spazio-tempo quadridimensionale. ora in questo nuovo spazio l'elemento di ''lunghezza'' infinitesimo non e' piu' $ dl = \sqrt{c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 +dz^2} $ come ci si potrebbe aspettare, ma $ ds = \sqrt{c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 -dz^2} $ (o con il meno davanti a $ c^2dt^2 $ e il piu' per gli altri, dipende dalla convenzione che preferisci usare...), questo in parole semplici perche' il $ ds^2 $ e' invariante per trasformazioni di Lorentz, ma $ dl^2 $ no. Ora se uno fa i calcoli espliciti (usando il principio variazionale, un po' troppo avanzato per questo forum...) trova che il segmento rettilineo che congiunge due punti causalmente correlati(si dice di tipo-tempo) ha si' un valore estremale di $ \int_{percorso} ds $ (intendo strettamente di tipo-tempo, non di tipo-luce, dove $ ds=0 $), ma essendo $ ds $ strettamente positivo dev'esssere un massimo. Per questo il segmento che congiunge due punti ha ''lunghezza'' masima rispetto a qualsiasi altra curva....

[matteo16]

Quello dei gemelli, a quanto ne so io, è un paradosso molto famoso che nasce dalla relatività ristretta e dalle trasformazioni di Lorentz, specie quella sul tempo. In ogni caso è solo un paradosso perchè per partire con un astronave alla volta di una stella lontana è necessaria una fase iniziale di accelerazione e poi ci sarà un altra accelerazione, seppur magari anche solo di direzione e non modulo, quando l'astronave raggiunge la stella e gira. Dunque il moto non è più uniforme.

calma, non facciamo confusione...parleremo del paradosso dei gemelli in un secondo momento, prima bisogna capire l'effetto gemelli in se' e per se', su cui l'argomentazione del paradosso si fonda. per quanto riguarda la distanza massima fra due punti su una retta, questo fatto e' caratteristico della metrica particolare dello spazio-tempo detto di Minkowski, della relativita' ristretta, in cui come si sa si considera il tempo $ \, t \, $ , o meglio $ ct $ (perche' la dimensionalita' sia corretta), una coordinata di quello che non e' piu' uno spazio tridimensionale ma uno spazio-tempo quadridimensionale. ora in questo nuovo spazio l'elemento di ''lunghezza'' infinitesimo non e' piu' $ dl = \sqrt{c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 +dz^2} $ come ci si potrebbe aspettare, ma $ ds = \sqrt{c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 -dz^2} $ (o con il meno davanti a $ c^2dt^2 $ e il piu' per gli altri, dipende dalla convenzione che preferisci usare...), questo in parole semplici perche' il $ ds^2 $ e' invariante per trasformazioni di Lorentz, ma $ dl^2 $ no. Ora se uno fa i calcoli espliciti (usando il principio variazionale, un po' troppo avanzato per questo forum...) trova che il segmento rettilineo che congiunge due punti causalmente correlati(si dice di tipo-tempo) ha si' un valore estremale di $ \int_{percorso} ds $ (intendo strettamente di tipo-tempo, non di tipo-luce, dove $ ds=0 $), ma essendo $ ds $ strettamente positivo dev'esssere un massimo. Per questo il segmento che congiunge due punti ha ''lunghezza'' masima rispetto a qualsiasi altra curva....

e fin qui va bene ma vengono descritti corpi che in un dato punto dello spazio-tempo accelerano. in questo caso si entra in relatività generale e lo spazio-tempo piatto di minkowski viene meno. lo stesso la metrica varia.
non è più la metrica dello spazio di minkowski descritta da quel tensore metrico.
ma le cose vengono un bel po' a complicarsi e io non sarei capace.
ora bisogna vedere se l'accelerazione è tale da far cambiare il tensore metrico ovvero da passare da relatività ristretta a relatività generale.

[Desh]

ora bisogna vedere se l'accelerazione è tale da far cambiare il tensore metrico ovvero da passare da relatività ristretta a relatività generale.

per come è posto il problema evidentemente la relatività generale non c'entra

[matteo16]

ora bisogna vedere se l'accelerazione è tale da far cambiare il tensore metrico ovvero da passare da relatività ristretta a relatività generale.

per come è posto il problema evidentemente la relatività generale non c'entra

evidentemente non direi. l'effetto Gemelli da cui nasce il paradosso prevede proprio l'accelerazione iniziale e per invertire il senso di marcia.

[gwmackey]

ora bisogna vedere se l'accelerazione è tale da far cambiare il tensore metrico ovvero da passare da relatività ristretta a relatività generale.

per come è posto il problema evidentemente la relatività generale non c'entra

evidentemente non direi. l'effetto Gemelli da cui nasce il paradosso prevede proprio l'accelerazione iniziale e per invertire il senso di marcia.

be', secondo quello che tu dici, matteo16, non si potrebbe mai studiare la relativita' ristretta o generale, in quanto basta una massa, o energia che dir si voglia, per modificare la struttura dello spazio-tempo...anche un fotone crea un suo campo gravitazionale, ovvero modifica lo spazio-tempo, ma l'effetto risuta apprezzabile solo per masse o energie molto grandi!! un'astronave a zonzo per il cosmo non ne modifica la struttura spazio-temporale, te lo garantisco...e la relativita' generale nulla ha a che vedere con l'effetto gemelli.

[matteo16]

per come è posto il problema evidentemente la relatività generale non c'entra

evidentemente non direi. l'effetto Gemelli da cui nasce il paradosso prevede proprio l'accelerazione iniziale e per invertire il senso di marcia.

be', secondo quello che tu dici, matteo16, non si potrebbe mai studiare la relativita' ristretta o generale, in quanto basta una massa, o energia che dir si voglia, per modificare la struttura dello spazio-tempo...anche un fotone crea un suo campo gravitazionale, ovvero modifica lo spazio-tempo, ma l'effetto risuta apprezzabile solo per masse o energie molto grandi!! un'astronave a zonzo per il cosmo non ne modifica la struttura spazio-temporale, te lo garantisco...e la relativita' generale nulla ha a che vedere con l'effetto gemelli.

io ho detto che bisogna vedere se l'accelerazione è grande a tal punto da studiare tale effetto tramite relatività generale.
se non lo è o è trascurabile allora va bene ovviamente studiare l'effetto con la relatività generale.
visto che per arrivare a velocità non trascurabili a c bisogna accelerare, tale accelerazione non mi sembra così tanto trascurabile come un campo gravitazionale di un fotone. ovviamente quando v è costante si userà la relatività ristretta.
perchè non si potrebbe stuidare la relatività ristretta e generale?

[gwmackey]

se dovessimo sempre tenere in conto gli effetti di autointerazione di un corpo col proprio campo gravitazionale sarebbe pressoche' impossibile studiare il comportamento di un oggetto in un campo gravitazionale (anche nullo)...e comunque stai confondendo decisamente l'accelerazione con l'energia\massa...e' quest'ulitma che crea un campo gravitazionale, non l'accelerazione. quindi se proprio vuoi non importa quanto accelera, ma quant'e' la sua energia, per sapere quanto influenza lo spazio-tempo....

[matteo16]

se dovessimo sempre tenere in conto gli effetti di autointerazione di un corpo col proprio campo gravitazionale sarebbe pressoche' impossibile studiare il comportamento di un oggetto in un campo gravitazionale (anche nullo)...e comunque stai confondendo decisamente l'accelerazione con l'energia\massa...e' quest'ulitma che crea un campo gravitazionale, non l'accelerazione. quindi se proprio vuoi non importa quanto accelera, ma quant'e' la sua energia, per sapere quanto influenza lo spazio-tempo....

ma il principio di equivalenza si basa proprio su sistemi non inerziali e quindi sistemi in cui l'accelerazione non è nulla.
dice che non c'è differenza tra un sistema di riferimento inerziale soggetto a campo gravitazionale e un sistema di riferimento non inerziale soggetto ad una determinata accelerazione.
così che ogni volta che c'è un'accelerazione l'osservatore la può percepire come campo gravitazionale(se essa è opportunamente grande).

[gwmackey]

si ma qui non si parla di un osservatore che avverte un'accelerazione esterna, effetto di un campo gravitazionale, bensi' di un osservatore che accelera utilizzando dei propulsori, e che con questi, secondo te, dovrebbe curvare sensibilmente, e addirittura non localmente lo spazio-tempo...
e comunque tutto questo continua a non avere nulla a che fare con l'effetto gemelli, quindi direi di non proseguire in questa futile discussione...

[mark86]

In ogni caso è solo un paradosso perchè per partire con un astronave alla volta di una stella lontana è necessaria una fase iniziale di accelerazione e poi ci sarà un altra accelerazione, seppur magari anche solo di direzione e non modulo, quando l'astronave raggiunge la stella e gira. Dunque il moto non è più uniforme.

In realtà la dilatazione dei tempi vale per due sistemi di riferimento qualsiasi...infatti considera tempi e spostamenti infinitesimi: localmente puoi approssimare il moto con un sistema di riferimento inerziale per cui se usi il fatto che $ ds^2 $ è invariante per trasformazione di Lorentz allora nel sistema terra (inerziale) il moto dell'astronave è tale che vale $ ds^2 = c^2dt^2-dx^2+dy^2-dz^2 $ mentre per l'astronave l'intervallo è $ ds'^2=c^2dt'^2 $ (nel sistema proprio le coordinate spaziali non cambiano). Uguagliando si ricava
$ \displaystyle dt'=dt\sqrt{1-\frac{dx^2+dy^2+dz^2}{c^2dt^2}}=dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} $
integrando

$ \displaystyle \Delta t' = \int_{t_1}^{t_2}dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}. $

Propongo inoltre la seguente domanda: perché è proprio la terra che invecchia?

[SkZ]

ma il principio di equivalenza si basa proprio su sistemi non inerziali e quindi sistemi in cui l'accelerazione non è nulla.
dice che non c'è differenza tra un sistema di riferimento inerziale soggetto a campo gravitazionale e un sistema di riferimento non inerziale soggetto ad una determinata accelerazione.
così che ogni volta che c'è un'accelerazione l'osservatore la può percepire come campo gravitazionale(se essa è opportunamente grande).

In verita' il principio di equivalenza dice un'altra cosa: un sistema di riferimento accelerato o un sistema soggetto a campo gravitazionale sono localmente equivalenti.
Attenzione: perche' un sistema accelerato vede tutto il resto accelerato in una determinata direzione con lo stesso valore dell'accelerazione, un sistema sottoposto ad campo gravitazionale ovviamente no, vedra' i corpi accelerati in base al valore del campo nel punto in cui si trova il corpo.

[matteo16]

si ma qui non si parla di un osservatore che avverte un'accelerazione esterna, effetto di un campo gravitazionale, bensi' di un osservatore che accelera utilizzando dei propulsori, e che con questi, secondo te, dovrebbe curvare sensibilmente, e addirittura non localmente lo spazio-tempo...
e comunque tutto questo continua a non avere nulla a che fare con l'effetto gemelli, quindi direi di non proseguire in questa futile discussione...

ok finiamola qui.
però non puoi chiamare futile questa discussione. io sono qua per apprendere. l'apprendimento lo faccio anche così.
io sostenevo una tesi e tu sostenevi un'altra tesi. solo attraverso queste discussioni si può imparare(in questo caso parlo di me). quindi anche attraverso scontri di tesi si apprende, e forse ancora di più rispetto alla semplice definizione.
poi se ti sei arrabbiato perchè la reputi futile, beh appunto sappi che non lo era e che il mio intento non era quello di creare scompliglio nella discussione.
non credi?

vabbe' detto questo finiamola qui