phi(n)
phi(n)
volevo sapere se è vero che $ \phi(n) $ è uguale al numero di generatori di un gruppo ciclico con n elementi.
se è così si ha che $ \phi(n) $= numero di generatori dell'insieme delle classi di resto modulo $ n $
giusto?
posso usare queste proprietà in gara(sempre se siano giuste e se abbia capito giusto)?
se è così si ha che $ \phi(n) $= numero di generatori dell'insieme delle classi di resto modulo $ n $
giusto?
posso usare queste proprietà in gara(sempre se siano giuste e se abbia capito giusto)?
Re: phi(n)
La prima frase è vera. La seconda no, nel senso che si dà comunemente in TdN alla parola "generatori". Di solito per "generatori" si intende "generatori del gruppo moltiplicativo formato dai resti modulo n meno lo zero (quando è un gruppo)". Se invece per generatori intendi "generatori del gruppo ciclico delle classi di resto mod n con l'operazione +", è vero -- ma è un'affermazione più banale di quello che potrebbe sembrare dalle parolone con cui è espressa.matteo16 ha scritto:volevo sapere se è vero che $ \phi(n) $ è uguale al numero di generatori di un gruppo ciclico con n elementi.
se è così si ha che $ \phi(n) $= numero di generatori dell'insieme delle classi di resto modulo $ n $
giusto?
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
hmm... temo che questa domanda tradisca il fatto che hai un po' di confusione in testa sull'argomento. "Additivo" e "moltiplicativo" non hanno nulla a che vedere con come è fatto il gruppo, sono solo un modo di chiamare l'operazione. Esempio: il gruppo (classi di resto non nulle modulo 7 con la moltiplicazione) e il gruppo (classi di resto modulo 6 con l'addizione) sono isomorfi, cioè in pratica sono lo stesso gruppo. Quando si parla di "generatori modulo 7" in TdN si intendono i generatori di questo gruppo. Che, come il risultato generale afferma, sono $ \phi(6) $, o anche $ \phi(\phi(7)) $. Ora è più chiaro?
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
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sì decisamente più chiaro. effettivamente non mi ero fermato a ragionare sulle classi di resto modulo n e sulle operazioni definite. adesso che mi ci fai riflettere però riesco meglio a capire.fph ha scritto:hmm... temo che questa domanda tradisca il fatto che hai un po' di confusione in testa sull'argomento. "Additivo" e "moltiplicativo" non hanno nulla a che vedere con come è fatto il gruppo, sono solo un modo di chiamare l'operazione. Esempio: il gruppo (classi di resto non nulle modulo 7 con la moltiplicazione) e il gruppo (classi di resto modulo 6 con l'addizione) sono isomorfi, cioè in pratica sono lo stesso gruppo. Quando si parla di "generatori modulo 7" in TdN si intendono i generatori di questo gruppo. Che, come il risultato generale afferma, sono $ \phi(6) $, o anche $ \phi(\phi(7)) $. Ora è più chiaro?
il fatto che vi sia un isomorfismo tra le due classi è solo verificabile o si può anche dimostrare(effettivamente mi sto allontanando dalla domanda principale)?
Isomorfismo tra i due /gruppi/, non classi, occhio. Dimostrare che c'è quell'isomorfismo è equivalente a dimostrare che c'è un generatore: una volta che sai questo fatto, poi definisci la funzione che manda il generatore (di Z_7^*) nella classe 1 (di Z_6), e da lì in poi sono solo verifiche e formalismo.matteo16 ha scritto:il fatto che vi sia un isomorfismo tra le due classi è solo verificabile o si può anche dimostrare(effettivamente mi sto allontanando dalla domanda principale)?
L'esistenza di un generatore (modulo un p primo) di solito si dimostra con una dimostrazione abbastanza insolita che ti consiglio di andare a cercare se sei interessato: prima si dimostra (lemma) che $ \sum_{d|n}\phi(d)=n $, poi usando il lemma si dimostra per induzione su d|p che ci sono \phi(d) elementi di ordine d.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
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sì grupppi hai ragione.fph ha scritto:Isomorfismo tra i due /gruppi/, non classi, occhio. Dimostrare che c'è quell'isomorfismo è equivalente a dimostrare che c'è un generatore: una volta che sai questo fatto, poi definisci la funzione che manda il generatore (di Z_7^*) nella classe 1 (di Z_6), e da lì in poi sono solo verifiche e formalismo.matteo16 ha scritto:il fatto che vi sia un isomorfismo tra le due classi è solo verificabile o si può anche dimostrare(effettivamente mi sto allontanando dalla domanda principale)?
L'esistenza di un generatore (modulo un p primo) di solito si dimostra con una dimostrazione abbastanza insolita che ti consiglio di andare a cercare se sei interessato: prima si dimostra (lemma) che $ \sum_{d|n}\phi(d)=n $, poi usando il lemma si dimostra per induzione su d|p che ci sono \phi(d) elementi di ordine d.
interessante la faccenda. andrò ad approfondire
grazie ancora delle tue risposte
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
chedo scusa se intervengo, ma dove potrei trovare questa dimostrazione?fph ha scritto: L'esistenza di un generatore (modulo un p primo) di solito si dimostra con una dimostrazione abbastanza insolita che ti consiglio di andare a cercare se sei interessato: prima si dimostra (lemma) che $ \sum_{d|n}\phi(d)=n $, poi usando il lemma si dimostra per induzione su d|p che ci sono \phi(d) elementi di ordine d.
mi pare di ricordare che quella proposta da maria allo scorso senior non usasse questo lemma...
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]
hmm... io l'ho vista in università, così su due piedi non saprei su che libro andare a ripescarla. Ci dò un'occhiata e ti faccio sapere (o se preferisci ve la lascio per esercizio...salva90 ha scritto:chedo scusa se intervengo, ma dove potrei trovare questa dimostrazione?fph ha scritto: L'esistenza di un generatore (modulo un p primo) di solito si dimostra con una dimostrazione abbastanza insolita che ti consiglio di andare a cercare se sei interessato: prima si dimostra (lemma) che $ \sum_{d|n}\phi(d)=n $, poi usando il lemma si dimostra per induzione su d|p che ci sono \phi(d) elementi di ordine d.
mi pare di ricordare che quella proposta da maria allo scorso senior non usasse questo lemma...
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--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
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