Alcuni esercizzietti facili facili

[Mef]

Molto più snella e agile della mia... io ero andato per classsi di congruenze...
<BR>
<BR>Sia n il numero dei vertici.
<BR>Assegniamo il valore 1 ad un vertice, il valore 2 al successivo in senso orario e cosi via fino all’ n-esimo vertice. Chiamiamo inoltre p(P) il numero del vertice di partenza della persona P e d(P) il numero di vertici di cui essa si sposta in senso orario.
<BR>Siccome ogni vertice è occupato da una sola persona, si ha che 1==p(P1)+d(P1); 2==p(P2)+d(P2);… n==p(Pn)+d(Pn) [mod n]. Sommando membro a membro, si ottiene che 1+2+…+n==p(P1)+d(P1)+p(P2)+d(P2)+…+p(Pn)+d(Pn); siccome però 1+2+…+n=p(P1)+p(P2)+…+p(P3), si ha che
<BR>(1) d(P1)+d(P2)+…+d(Pn)==0 [mod]n
<BR>Affinché la distanza fra due persone A e B vari, si deve avere che p(A)-p(B)=/=(p(A)+d(A))-(p(B)-d(B)) [mod n] oppure che p(B)-p(A)=/=(p(A)+d(A))-(p(B)-d(B)) [mod n]; in altri termini, che
<BR>(2) d(A)-d(B)=/=0 [mod n] oppure che
<BR>(3) d(A)-d(B)=/=2(p(B)-p(A))
<BR>
<BR>La (2) è rispettata solo se per ogni m<n esiste ed è unico un d(P) tale che d(P)==m [mod n] (se non fosse unico, si avrebbe che d(P1)-d(P2)==m-m==0 [mod n], mentre se non esistesse anche solo per un m vorrebbe dire avere n elemente distribuiti in n-1 classi, che ne implicherebbe la non unicità);
<BR>nel caso in cui n sia pari, ciò contrasta con la (1).
<BR>
<BR>La (3) non è valida a meno se 2(p(B)-p(A))=/=0 [mod n] in quanto, per quanto appena detto, esiste un d(P1)==2(p(B)-p(A)) [mod n] ed esiste un d(P2)==0 [mod n]; ma 2(p(B)-p(A))==0 [mod n] implica, con n dispari, p(B)-p(A)==0 [mod n], che è assurdo.
<BR>

[DD]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Allora... in poligono regolare di lato n le possibili distanze di un vertice da un altro sono al massimo n-2, (le distanze di un vertice dagli n-3 vertici a lui non consecutivi più la distanza da i due vertici consecutivi, che è la stessa). Dato poi che tra n persone è possibile individuare n(n-1)/2 coppie si ha che almeno n(n-3)/2+3 coppie distano uguali ( n(n-1)/2-(n-2)+1=n(n-3)+3 ).
<BR>Dopo lo spostamento tutte queste coppie che distavano uguali devono distare diversamente, ma ciò è impossibile essendoci \"disponibili\" solo n-2 distanze ed essendo n-2 minore di n(n-3)/2+3 per ogni n.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ho i miei dubbi:
<BR>1. le distanze sono [n/2] (per ragioni di simmetria)
<BR>2. devi dividere e non sottrarre il numero di coppie per il numero di distanze: una volta che hai assegnato una distanza a ogni coppia non è detto che tutte le altre coppie abbiano la stessa distanza!
<BR>3. dopo lo spostamento potrebbero anche avere tutte distanza uguale tra loro ma diversa da quella della disposizione precedente

[publiosulpicio]

Si infatti me ne sono accorto anch\'io... però facendo bene i calcoli, dividendo, ottien comunque la dimostrazione. Quello che voglio dire è, per esempio, che se hai cinque coppie che stanno alla stessa distanza e tre sole distanze possibili non è possibile che tutte e cinque dopo lo spostamento siano a una distanza diversa da quella iniziale (che era uguale per tutte) appunto perché dovrebbero esserci cinque distanze diverse, che però non ci sono! I numeri tre e cinque sono inventati al momento, l\'importante è che il numero delle coppie a uguale distanza è maggiore delle distanze possibili

[publiosulpicio]

mmm... ho capito cosa dici riguardo le distanze che possono essere uguali tra loro ma diverse da prima... però viene comunque (mi sembra) che non possono cambiare tutte, sempre perché non ci sono abbastanza distanze disponibili. Non sono sicuro di aver trovato una dimostrazione giusta al 100% ma mi sembra corretta, prova a pensare al numero di coppie che devono variare la propria distanza e mi sembra proprio che siano troppe. In sostanza ho usato il ragionamento di prima completandolo, quando ne sarò sicuro scirverò la mia soluzione.
<BR>ps grazie per le critiche, sono sempre costruttive!

[publiosulpicio]

tu dici che le distanze sono n/2, ma se il poligono ha un numero di lati dispari? Io separerei i due casi...

[publiosulpicio]

Mi sembra di parlare da solo... cmq contanto non solo quante distanze uguali ci sono ma anche quante solo le coppie che hanno tra loro la stessa distanza si arriva al risultato

[ale86]

Ti sembra?

[publiosulpicio]

eh si... mi sembra e basta...non ho molto tempo per pensarci... tu come l\'hai risolto?

[publiosulpicio]

Sono davvero rincoglionito in questi giorni, ho capito adesso che il tuo mi sembra si riferiva al mio parlare da solo, credo che il mio qi stia entrando a far parte dei numeri negativi, per cui mi zittisco per un po\'.... andrò a vedere la tv <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> anzi no, faccio qualche dimostrazione così mi esercito per mercoledi

[DD]

Ho detto [n/2], non n/2. Cioè il massimo intero <= n/2. Che \"viene comunque\" è piuttosto ovvio visto che quello che devi dimostrare è vero: attendo la tua dimostrazione riveduta e corretta

[publiosulpicio]

Forse sono impazzito sul serio, ma ho trovato un controesempio! Si consideri un pentagono regolare e si nominino i sui vertici, a partire ad esempio da quelli in basso a sinistra e in senso antiorario, A B C D E, ora si consideri lo stesso pentagono con i vertici, nominati nello stesso modo, A C E B D. Quale sarebbe la coppia la cui distanza non è cambiata?

[ale86]

ehm, ho abbiamo preso un abbaglio in 2 oppure hai ragione, ma non vorrei dire una castroneria (come dice la mia prof di biologia)